2023.6.6 闲话

随着 SoyTony 指示又不做 AGC 了，这应该在自我批评里加一条「没有主见：别人说什么就认为是什么，别人做什么就跟着做什么。」了。

不过自我批评这种博应当是 read-only 的，后面要再批评应该新开博写，所以就记到闲话里批评吧。

BOBO 怎么总长篇说话，liangchenming 大师咋记下来的，真的厉害。

脚注：你等着他疯，他要一直不疯，你就认了吧，这种人就是牛逼，脑子还好使，心态还不崩，你就膜拜就行了，当成你的偶像。……你要能耗死他那更好了，耗崩溃他。——选自 BOBO

一些语录（脱敏版）

截止到 2023.6.6 16:00 .

2023.6.6 高考集训

SoyTony：min25 牛逼？比杜还牛逼？

K8He：您就是贺神。

K8He：跟 SoyTony 似的，懒得改就删了。

K8He：（对着 PinkRabbit 和 xht）好甜。

K8He：我已经成了 joke3579。

K8He：我把 APJ 榨出来了。

K8He：还是我们外星人更强。

$$\text{Show }\rm\TeX\text{ Commands QAQ.} % K8He：（10circle）那她既是 1 又是 0 是不是就自交了。（这个是最新语录） % *古昔章节* % K8He：我不可爱吗。 % K8He：这么可爱还真是傻逼。 % K8He：好牛子。 % K8He：你能和我贴贴吗。 % K8He：她这下捋的这么直还是我调教的呢。 % K8He：你看我算正太吗。 % K8He：给我看看B。 % K8He：鸡你。 % K8He：河北衡水中学金牌教练在哪里啊。 % K8He：我做一个断论：真心觉得 Keven_He 强的人是真菜。 % K8He：现在的初二同学，是不是马上就要上完体活去周测了呢。 % K8He：上网课干啥啊 肯定写题啊。$$

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豆老师来找我说那个 OI-wiki 的杜教筛复杂度证明，好吧我也看不懂咋就「高阶无穷小」了 .

Lemma

$$\left\lfloor\dfrac{\lfloor\frac na\rfloor}{b}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{n}{ab}\right\rfloor$$

Proof：令 $\left\lfloor\dfrac{n}{ab}\right\rfloor=k$，则：

$$\begin{aligned}&k\le \dfrac{n}{ab}<k+1\\\iff&kb\le\dfrac na<kb+b\\\iff&kb\le\left\lfloor\dfrac na\right\rfloor<kb+b\\\iff&k\le\left\lfloor\dfrac{\lfloor\frac na\rfloor}{b}\right\rfloor<k+1\end{aligned}$$

证毕 .

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杜教筛时间复杂度：

首先不难写出时间复杂度的一个渐进表达式：

$$T(n)=O\left(\sum_{i=1}^n\sqrt{\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor}\right)$$

根据杨卓凡第一小定理，瞬间可得 $T(n)=O(n^{3/4})$ .

小范围线筛的话，设筛到 $S$，那么就变成：

$$T(n)=O\left(S+\sum_{i=S}^n\sqrt{\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor}\right)$$

差分后杨卓凡第一小定理即可得到是 $T(n)=O\left(S+\dfrac{n}{\sqrt S}\right)$，取 $S=n^{2/3}$ 可得最优时间复杂度 $O(n^{2/3})$ .

真是，杨卓凡第一（点五）小定理秒杀一切整除求和的渐进表示问题，太聚了！！（其实应该就是一个求和换积分的小 Trick，不过 1.5 小定理确实厉害）

Never Gonna Give You Up