2023.5.22 闲话

最终是把 arcaea 剧情通了一遍~~（虽然是一路 PRS 走的）~~，stO 616 Orz .

最近两首新曲：

ピノキオピー - 甘噛みでおねがい feat. 初音ミク
DECO*27 - ラビットホール feat. 初音ミク

又开始对狙了是吧 orz .

话说今天是我生日欸。。QAQ

CF896D Nephren Runs a Cinema

计数满足以下条件的序列 $\{a_n\}$ 的个数：

$a_i\in\{-1,0,1\}$ .

任意前缀和非负且总和在 $[l,r]$ 内 .

答案对 $p$ 取模，不保证 $p$ 是素数 .

$0\le l\le r\le n\le 10^5$ ， $1\le p\le 2\times 10^9$ .

直接暴力枚举 $0$ 的数量和总和后~~反射容斥~~可以得到答案的一个表达式：

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (\sum_{\begin{matrix} j \in [l, r] \\ j - i ∣ 2 \end{matrix}} (\binom{i}{\frac{i + j}{2}}) - (\binom{i}{\frac{i + j}{2} + 1}))

$\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \left(\sum_{\substack{j\in[l,r]\cr j-i\mid 2}}\binom{i}{\frac{i+j}2} - \binom{i}{\frac{i+j}2+1}\right)$

后面那个求和是类似裂项的形式，于是可以化为：

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) ((\binom{i}{\frac{i + j_{L}}{2}}) - (\binom{i}{\frac{i + j_{R}}{2} + 1}))

$\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \left(\binom{i}{\frac{i+j_{\sf L}}2} - \binom{i}{\frac{i+j_{\sf R}}2+1}\right)$

其中 $j_{\sf L},j_{\sf R}$ 分别为 $j$ 能取到的最小值和最大值 .

然而 $p$ 不一定是素数，问题在于计算组合数，那么类似 exLucas，考虑展开组合数后约掉模 $p$ 没有逆元的部分 .

具体的，令 $\displaystyle p=\prod_{i=1}^{\omega(p)}p_i^{r_i}$ 是 $p$ 的唯一分解，则对每个数 $n$ 记 $\displaystyle n=c\cdot \prod_{i=1}^{\omega(p)}p_i^{\alpha_i}$ ，计算除法的时候 $c$ 部分肯定有逆元可以直接除，后面的指数相减即可 .