Typical DP Contest 社论

站❤长❤推❤荐

目录

• A. コンテスト
• B. ゲーム
• C. トーナメント
• D. サイコロ
• E. 数
• F. 準急
• G. 辞書順
• H. ナップザック
• I. イウィ
• J. ボール
• K. ターゲット
• L. 猫
• M. 家
• N. 木
• O. 文字列
• P. うなぎ
• Q. 連結
• R. グラフ
• S. マス目
• T. フィボナッチ

洛谷题单 . 可以做做 .

有小数的精度要求都是 $10^{-6}$ 大概 . 图默认是简单图 .

A. コンテスト

给序列 $\{a_n\}$，问在 $\{a\}$ 中选若干数加起来能得到多少不同的数 .

$1\le n,a_i\le 100$ .

01 背包即可，实现的好的话时间复杂度 $\Theta(nV/w)$ .

B. ゲーム

两个堆 $S_1,S_2$，Alice 和 Bob 轮流操作，每次选一个堆取出堆顶，每个人都想要让自己取出的数之和最大 . 问 Alice 最后取出的数的和是多少 .

两个堆的大小均不大于 $10^3$ .

比较朴素，类似 AtCoder DP 26 题的 L. Deque，时间复杂度 $\Theta(n^2)$ .

C. トーナメント

$2^k$ 个人打淘汰赛（形如一棵满二叉树），其中第 $i$ 个人 Elo Rating 为 $r_i$ .

人 $p$ 和人 $q$ 对战，人 $p$ 获胜的概率为 $\dfrac{1}{1+10^{(r_q-r_p)/400}}$，问最后每个人获胜的概率 .

$1\le k\le 10$ .

令 $dp_{k,i}$ 表示第 $k$ 轮后第 $i$ 个人存留的概率，则不难得到转移：

$$dp_{k,i}=dp_{k-1,i}\cdot\sum_{j\in S_{k,i}}\operatorname{prob}(j,i)\cdot dp_{k-1,j}$$

其中 $S_{k,i}$ 表示第 $k$ 轮能和 $i$ 比赛的人，$\operatorname{prob}(j,i)$ 表示 $j$ 赢 $i$ 的概率 .

时间复杂度 $\Theta(k2^k)$ .

D. サイコロ

将一个六面骰子掷 $n$ 次，问每次掷得点数之积为 $d$ 的倍数的概率 .

$1\le n\le 100$，$1\le d\le 10^{18}$ .

因为只有六面，所以乘积肯定只有素因子 $2,3,5$，那么考虑令 $dp_{n,a,b,c}$ 表示掷 $n$ 次，最终 $2,3,5$ 因子的次数分别为 $a,b,c$ 的概率 . 那么可以朴素转移 .

时间复杂度 $O(n\log d)$ .

E. 数

计数 $[1,n]$ 内数位和是 $d$ 的倍数的数的数量，对 $10^9+7$ 取模 .

$1\le n\le 10^{10000}$，$1\le d\le 100$ .

和 AtCoder DP 26 题的 S. Digit Sum 是完全一致的题目 .

考虑数位 DP，令 $dp_{x,e}$ 表示到第 $x$ 位且目前数位和 $s\equiv e\pmod d$（$0\le e<d$）的答案，然后可以朴素转移 .

时间复杂度 $\Theta(d\lg k)$ .

F. 準急

选 $1\dots n$ 中的若干数，计数选择方案，要求满足：

• 选中 $1,\,n$ .
• 不能选中连续的 $k$ 个数 .

对 $10^9+7$ 取模 .

$1\le k\le n\le 10^6$ .

令 $dp_{n,0/1}$ 表示选 $1\dots n$ 且不选 / 选 $n$ 的方案数，那么有转移：

$$\begin{aligned}&dp_{n,0}=dp_{n-1,0}+dp_{n-1,1}\\&dp_{n,1}=dp_{n-1,0}+dp_{n-1,1}-dp_{n-k,0}\end{aligned}$$

时间复杂度 $\Theta(n)$ .

G. 辞書順

给一个长为 $n$ 的字符串 $S$，求其字典序第 $k$ 小的非空子序列，重复（字符串本质不同当且仅当看起来不一样）只算一次，不存在输出 Eel .

$1\le n\le 10^6$，$1\le k\le 10^{18}$，字符集为小写字母 .

不难想到按位考虑，所以其实只需要算 $i\dots n$ 中强制选 $i$ 的本质不同子序列数量 .

考虑在子序列自动机上 DP . 具体的，令 $\operatorname{next}(i,c)$ 表示 $i$ 之后第一个 $c$ 的位置，$dp_i$ 表示 $i\dots n$ 中强制选 $i$ 的本质不同子序列数量 . 考虑重复情况只计算选择位置字典序最小的那个，于是可以得到转移：

$$dp_i=1+\sum_c dp_{\operatorname{next}(i,c)}$$

不过 $dp$ 的真实值可能很大，可以和 $k+1$ 取 min，不会丢失需要的信息 .

时间复杂度 $\Theta(nS)$，其中 $S=26$ 是字符集大小 .

H. ナップザック

$n$ 个物品，每个物品有质量、价值和颜色 . 要求放入一个背包中，容量上限为 $w$，颜色种类数上限为 $c$，求最大价值和 .

$1\le n\le 100$，$1\le w\le 10^4$，$1\le c\le 50$ .

令 $dp_{i,j,k}$ 表示选 $1\dots i$ 中的颜色，选了 $j$ 种颜色，质量和为 $k$ 的答案，那么在 $1\dots i$ 加入 $i+1$ 肯定颜色种类数多 1，于是就可以简便处理颜色种类数了 . 转移类似 01 背包转即可 .

时间复杂度 $\Theta(n+wc^2)$ .

I. イウィ

给一个长度为 $n$ 的仅含 i, w 的字符串 $S$，每次可以删一个子串 iwi，问最多能删几次 .

$1\le n\le 300$ .

令 $dp_{l,r}$ 表示 $S[l:r]$ 是否能被删空，可以朴素区间 DP 处理 .

那么把所有 $dp$ 值为 $1$ 的区间全部拿出来，就变成了选若干不交区间使得其并的大小最大的问题，可以反悔贪心做 .

经过一些简单分析可以知道时间复杂度为 $\Theta(n^3)$ .

J. ボール

$n$ 个物品，第 $i$ 个在 $x_i$ 处 . 向坐标 $x$ 扔球时，均匀随机击中坐标 $x-1, x, x+1$ 中的一个 . 问在最优策略下期望扔球多少次能打倒所有物品 .

$1\le n\le 16$，$0\le x_i\le 15$ .

令 $dp_S$ 表示打到 $S$ 内所有物品的期望步数，则考虑投 $x$ 位置期望扔多少步：

$$E_{s,x}=1+\dfrac13\sum_{\substack{p\in[x-1,x+1]\cr \{p\}\in S}}dp_{S\setminus\{p\}}+\left(1-\dfrac13\sum_{p\in[x-1,x+1]}[p\in S]\right)E_{s,x}$$

那么解出 $E_{s,x}$ 后做转移 $dp_S=\min\limits_x\{E_{s,x}\}$ 即可 .

时间复杂度 $\Theta(n2^n)$ .

K. ターゲット

如果一组圆满足前面的圆总是严格包含于后面的圆，则称其为一个靶子，且大小为圆的数量 .

现有 $n$ 个圆，第 $i$ 个圆心为 $(x_i,0)$，半径为 $r_i$ . 问选若干个圆最大可以组成多大的靶子 .

$1\le n\le 10^5$ .

其实就是若干区间问最多可以嵌多少层，两个区间 $[l_1,r_1],[l_2,r_2]$ 满足条件当且仅当 $l_1<l_2,\,r_1>r_2$ . 那么按 $l$ 排序后找最长下降子序列即可 .

时间复杂度 $\Theta(n\log n)$ .

L. 猫

$n$ 只猫，第 $i$ 只在位置 $x_i$，满足 $\{x\}$ 是单调递增的实数序列 . 猫 $i$ 和猫 $j$ 的友好指数为 $f_{i,j}$，猫 $i$ 的幸福指数是与其距离不超过 $1$ 的猫和她的友好指数之和 .

现给定 $f$，对于任意序列 $\{x\}$，问所有猫幸福指数和的最大值 .

$1\le n\le 10^3$ .

首先把答案除以 2，那么对于 $j<i$ 令 $dp_{i,j}$ 表示 $i,j$ 距离不超过 $1$ 时 $1\dots i$ 的最大答案，则：

$$dp_{i,j}=\max_{k=1}^j\{dp_{i-1,k}\}+\sum_{k=j}^if_{i,k}$$

动态记一下前面的 max 就可以 $\Theta(1)$ 转移了 .

时间复杂度 $\Theta(n^2)$ .

M. 家

$h$ 层图，每层图都一模一样，有 $r$ 个点，从 $h$ 层的 $1$ 号点到 $1$ 层的一号点，每次可以做下列操作之一：

• 沿着边走一步 .
• 层数减一 .

问不经过相同点的方案数，对 $10^9+7$ 取模 .

$2\le h\le 10^9$，$1\le r\le 16$，8s .

就是经典问题 AtCoder DP 26 题的 R. Walk 的简单变形 .

首先求出矩阵 $A$，其中 $A_{i,j}$ 是 $i$ 到 $j$ 的简单路径条数，则答案即为 $A^h_{1,1}$ .

$r$ 比较小，于是 $A$ 可以状压求 . 时间复杂度 $\Theta(2^rr^3+r^3\log n)$ .

N. 木

给一棵 $n$ 个点的树，一种加边顺序是合法的当且仅当任意时刻所有边的端点全部连通 . 求合法加边顺序数，对 $10^9+7$ 取模 .

$1\le n\le 10^3$ .

考虑枚举最开始删哪条边，然后划分为两个子树的话就比较容易了，因为有删边顺序是从祖先到后代 . 对于每棵子树分别 DP 求出方案数后合并即可 . 转移可以考虑依次合并子树 .

那么只需要考虑如何合并子树，若子树 $u,v$ 内的边数分别为 $e(u),e(v)$，方案数分别为 $c(u),c(v)$，则看成格路计数即可得到合并后的方案数为 $\dbinom{e(u)+e(v)}{e(u)}c(u)c(v)$ .

时间复杂度 $\Theta(n^2)$ .

O. 文字列

给序列 $\{w\}$，问小写字母 $c$ 出现 $w_c$ 次的字符串数量，对 $10^9+7$ 取模 .

$0\le w_c\le 10$ .

首先二项式反演，令 $f_n$ 为钦定 $n$ 个位置的方案数，那么考虑依次加入每个字母 .

那么整个字符串就被分成 $\sum w_c-n$ 个连续段，枚举钦定位置数后分成若干连续段，分割方案数可以用组合数描述，那么可以得到转移：

$$f'_n=\sum_{i=1}^n\dbinom ni\dbinom{w_c-1}{w_c-i}f_{n-i}$$

那么答案即为：

$$\mathrm{ans}=\sum_{i\ge1}(-1)^if_i$$

时间复杂度 $O((\sum w_c)^2S)$，其中 $S$ 是字符集大小 .

P. うなぎ

给一棵 $n$ 个点的树，求选出 $k$ 条至少包含两个顶点的链，且任意两条链在顶点上不交的方案数，不一定要覆盖整棵树 .

$2\le n \le 1000$，$1\le k\le 50$。

令 $dp_{u,i,s=0/1/2/3}$ 表示 $u$ 子树内选 $i$ 条链，其中：

• $s=0$：$u$ 未被链覆盖 .
• $s=1$：$u$ 是一条直链上深度最大的点 .
• $s=2$：$u$ 在一条直链上 .
• $s=3$：$u$ 在一条非直链上 .

转移略，时间复杂度 $\Theta(nk^2)$ .

Q. 連結

$n$ 个 01 串 $\{w_n\}$，找几个按任意顺序拼接，一个字符串可以选多次，问拼出来的本质不同的长为 $L$ 的串个数，对 $10^9+7$ 取模 .

$1\le n\le 510$，$1\le|w_i|\le 8$，$1\le L\le 100$ .

和 SDOI2009 学校食堂那个题差不多 .

本质不同比较难处理，那么就考虑一位一位的拼出最终字符串，那么因为字符串长度都比较小，于是只需要维护最近 $7$ 位的状态和分隔符即可 .

具体的，令 $dp_{n,S_1,S_2}$ 表示长为 $n$ 的字符串，最后 $7$ 位状态为 $S_1$，拼接分隔符状态为 $S_2$ 的串个数，转移相对平凡，不表 .

时间复杂度 $\Theta(nm+L\cdot 2^{2m})$，其中 $m=\max\{w_i\}$，可以通过 .

R. グラフ

给 $n$ 个点的有向图，选两条路径（不用简单），最大化被覆盖过的点的总数 . 只需输出最大数量 .

$1\le n\le 300$ .

首先缩点变成 DAG 上问题 . 考虑加虚拟源汇点 $s,t$ 后变成找 $s$ 到 $t$ 的两条路径 .

于是令 $dp_{u,v}$ 表示两条路径 $s-u,\,s-v$ 的最大覆盖总点数，枚举出边转移即可 .

时间复杂度 $O(n^3)$，可以通过 .

S. マス目

给一个 $n\times m$ 网格，将其黑白染色，要求：

• $(1,1),\,(n,m)$ 染黑色 .
• 存在一条从 $(1,1)$ 到 $(n,m)$ 的只经过黑色点的路径 .

求方案数，对 $10^9+7$ 取模 .

$2\le n\le 6$，$2\le m\le 100$ .

肯定是按列考虑，不过只维护目前列的状态不能统计答案 . 把网格划分为若干黑色连通块，限制就是 $(1,1),\,(n,m)$ 处于同一连通块内，则可以考虑记录从属于连通块的状况 .

具体的，因为只有最多 6 行所以最多 3 个连通块，对于四进制数 $S$，0/1/2/3 分别表示白位置，和 $(1,1)$ 连通和两个别的连通块 . $dp_{n,S}$ 表示处理到前 $n$ 列，第 $n$ 列状态为 $S$ 的方案数 . 注意因为我们只关注 1 所以 2, 3 其实是无序的需要人为钦定一个顺序 . 转移就枚举一列状态并查集维护连通性即可 .

不算并查集复杂度，看起来时间复杂度是 $O(m8^n)$ 的，也不是不能过 . 不过可以分析到更小一点，暴搜可以知道 $n=6$ 时合法的状态 $S$ 的数量 $\mathsf S(6)=196$，所以离散化后可以得到准确时间复杂度是 $\Theta(m2^n\mathsf S(n))$，这是远小于 $m8^n$ 的 .

T. フィボナッチ

如下定义序列 $\{a\}$：

$$a_n=\begin{cases}1&n\le k\\\sum\limits_{i=1}^ka_{n-i}&n>k\end{cases}$$

给定正整数 $n,k$，求 $a_n$ . 对 $10^9+7$ 取模 .

$1\le n\le 10^9$，$2\le k\le 10^3$ .

算行列式或者直接看答案 OGF 的分母就知道特征多项式：

$$g(\lambda)=\lambda^k-\lambda^{k-1}-\cdots-1$$

然后暴力做 Fiduccia 算法后面的部分就行了，时间复杂度 $\Theta(k^2\log n)$ .