2023.5.4 闲话

五四 HOHO .

99%

用 B 站美琴生日会的免费大会员连夜把 Lycoris Recoil 补了，orz . 让我最意外的竟然是 Good Ending .

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目录

• ABC293Ex Optimal Path Decomposition
• CF1110C Meaningless Operations
• CF1110D Jongmah
• CF1110F Nearest Leaf
• CF1119C Ramesses and Corner Inversion
• CF1119E Pavel and Triangles
• CF1178D Prime Graph
• CF1178E Archaeology

ABC293Ex Optimal Path Decomposition

给一棵 $n$ 个点的树，将树划分为若干条不交的路径，每条路径染一种颜色（不同路径间颜色不同）. 求任意一条路径其经过的颜色数最大值的最小值 .

$1\leq n\leq2\times10^5$ .

因为选的是路径每个点的同色儿子数肯定不超过 2，如果这个值恰等于 2 则对父亲肯定没有贡献，否则就可能有贡献 . DP 的话就是令 $dp_{i,j}$ 为考虑以 $i$ 为根的子树，有 $j$ 个和根颜色相同的儿子 .

不过这样做的话转移有困难，因为对父亲和儿子的贡献不好平衡，那么考虑二分答案后进行这个过程，那么就可以简单平衡了 .

神秘 . 时间复杂度 $\Theta(n\log n)$ 或者 $\Theta(n\log\log n)$ .

Submission .

CF1110C Meaningless Operations

令 $\displaystyle f(a)=\max_{0<b<a}\gcd(a\oplus b,a\land b)$ .

$q$ 组询问，每次给一个 $a$，求 $f(a)$ .

$1\le q\le 10^3$，$2\le a<2^{25}$ .

为了方便称形如 $2^k-1$ 的整数为 FO 整数 .

速通方案：打表得到对于非 FO 整数 $a$ 答案就是小于 $a$ 的最大 FO 整数 .

对于 FO 整数特殊考虑，因为辗转相除法可以得到 $\displaystyle f(a)=\max_{0<b<a}\gcd(a\lor b,a\land b)$ .

因为 FO 整数的特殊性质，有 $a\lor b=a$，$a\land b=b$，于是任务就变成求 $a$ 的最大非平凡因子，暴力即可 .

时间复杂度 $\Theta(q\sqrt a)$ .

速通方案结论证明：

如果对于非 FO 整数 $a$，有答案 $z$ 比小于 $a$ 的最大 FO 整数还大，则观察 GCD 可以发现 $a,b$ 必为以下三种情况：

• $a=b=z$ .
• $a=0,\,b=z$ .
• $a=z,\,b=0$ .

第一、二不满足 $b<a$，第三种观察可以发现 $z$ 就是小于 $a$ 的最大 FO 整数，证毕 .

CF1110D Jongmah

$n$ 个麻将，第 $i$ 个麻将上写着 $a_i\in[1,m]\cap\Z$ .

问这些麻将最多组多少个三刻子或三顺子，每个麻将只能用一次 .

$1\le n,m\le 10^6$ .

刻子取三个以上没有用，可以转成顺子 .

于是考虑 DP，令 $dp_{x,a,b}$ 表示用 $1\dots x$ 大小的麻将，附加 $a$ 个形如 $(x-1,x,x+2)$ 的刻子，$b$ 个形如 $(x,x+1,x+2)$ 的刻子即可 .

时间复杂度 $\Theta(n)$ .

CF1110F Nearest Leaf

给一棵 $n$ 个点的带权树 $\mathcal T$，保证点权为一种可能的 DFS 序，且 $1$ 号节点不是叶子 .

$q$ 组询问，每次给三个整数 $u,l,r$，回答 $\displaystyle\min_{\substack{v\in[l,r]\cr v\text{ is leaf}}}\operatorname{dist}(u,v)$ 的值 .

$n,m\le 5\times 10^5$ .

把所有询问挂节点上，首先一次 BFS 求出 $1$ 的答案，然后考虑移一位对于每个点的距离影响相当于子树外全部加边权，子树内全部减边权，于是线段树动态维护即可 .

时间复杂度 $\Theta((n+q)\log n)$ .

CF1119C Ramesses and Corner Inversion

给两个 01 矩阵 $\{a_{n\times m}\},\{b_{n\times m}\}$，每次操作可以选一个矩形让四角元素取反，问能否操作使得 $a,b$ 相等 .

$1\le n,m\le 500$ .

首先把两个矩阵异或起来，问题变成每次可以选一个矩形让四角元素取反，问能否让矩阵全零 .

考虑一次操作修改两行两列，所以任意行列 $1$ 的数量必须都为偶数才行 .

然后构造一组方案即可证明准确性，考虑权为 $1$ 的点为 $(p_{1\dots k},q_{1\dots k})$，则对所有 $p_i,q_i>1$ 操作以 $(1,1)$ 为左上角 $(p_i,q_i)$ 为右下角的矩形，显然除了第一行第一列都归零，又根据奇偶性即可得到全矩阵归零 .

根据以上规则判断，时间复杂度 $\Theta(nm)$ .

CF1119E Pavel and Triangles

给序列 $\{a_n\}$，问 $a_i$ 个 $2^i$ 长的线段共能组成多少三角形 .

$n\le 3\times 10^5$ .

好猜的贪心，满足答案的三角形 $(2^a,2^b,2^c)$ 只可能是 $a<b=c$ 或者 $a=b=c$ 的形式，根据直觉优先选 $a<b=c$ 的即可，证明可以试考虑每条边是否被浪费这种 .

时间复杂度 $\Theta(n\log n)$ .

CF1178D Prime Graph

给整数 $n$，构造一张 $n$ 个点的简单图，要求每个点的度数都是素数且边数是素数 .

$3\le n\le 10^3$ .

简单构造题 . 首先众所周知的是 $n$ 个点的 $k$-正则图有 $nk/2$ 条边 .

$2,3$ 都是素数，考虑把 2-正则图逐渐加边加成 3-正则图（$n$ 是奇数时就是一个点是 2 度其他点度均为 3 的图）.

这样每个点的度只会是 $2,3$，总边数的范围是 $[n,1.5n]$，根据某定理可以知道这个区间内必有一素数，于是做完了 .

时间复杂度 $\Theta(n)$ .

CF1178E Archaeology

给一个只有 $\tt a,b,c$ 的长度为 $n$ 的字符串，相邻两字符不相同，输出任意一个长度不小于 $\left\lfloor\dfrac n2\right\rfloor$ 的回文子序列 .

$2\le n\le 10^6$ .

考虑每次取出首尾各两个字符，显然左右必有相同字符，取了之后缩两格重复过程即可，不难发现方案满足条件 .

时间复杂度 $\Theta(n)$ .

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