2023.4.26 闲话

蚌：

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ABC299G Minimum Permutation

给值在 \([1,m]\) 的序列 \(\{a_n\}\)，找到一个长度为 \(m\) 的字典序最小的子序列，且满足其是一个排列 .

\(1\le m\le n\le 2\times 10^5\) .

考虑从前往后贪心选，根据一些观察可以知道如果三个位置 \(i,j,k\) 满足 \(a_i<a_j\) 且 \(a_i=a_k\) 那么选 \(a_i\) 一定不优，于是预处理每个数最后一次出现的位置后 单调栈维护即可 .

时间复杂度 \(\Theta(n)\) .

ABC293F Zero or One

给正整数 \(n\)，问有多少个正整数 \(b\) 使得 \(b\) 进制下 \(n\) 只含 0 和 1 .

最多 \(1000\) 组询问，\(2\le n\le 10^{18}\) .

¿

考虑阈值分治，设阈值 \(B\)，则对于 \(b\le B\)，暴力枚举每个 \(b\) 后分解判断，对于 \(b>B\)，枚举每种 \(b\) 进制下仅含 0 和 1 的数后二分出是否存在 \(b\) .

那么时间复杂度就是单次 \(\Theta(B\log n+2^{\log_B n}\log n\log_B n)\)

这个平衡好像不太可能初等完成，不过取 \(B=\Theta(2^{\sqrt{\log n}})\) 可以得到单次 \(\Theta(2^{\sqrt{\log n}}(\log n)^{1.5})\) 的时间复杂度下界，实际我取的 \(B=2\times 10^3\)（是不是差有点大） .

有一种无脑做法：注意到 \(b\) 肯定是 \(n\) 或 \(n-1\) 的因子，Pollard-Rho 分解后暴力判断即可 .

ABC292F Regular Triangle Inside a Rectangle

问 \(a\times b\) 矩形里最大能放边长多大的等腰三角形 .

\(1\le a,b\le 10^3\) .

弃疗 .

不难发现肯定是 \(a,b\) 相差比较远就直接平放，否则固定一个端点另两个在边上 .

如图是 \(1\times 1\) 的情况（固定一个端点另两个在边上）.

不失一般性让 \(a\le b\)，那么 \(a\le \dfrac{2\sqrt3}3b\) 时比较显然答案就是 \(2\sqrt{b^2-\sqrt 3ab+a^2}\) .

否则 \(a=b\) 时答案是 \(a\)，\(a=\dfrac{2\sqrt3}3b\) 时答案是 \(\dfrac{2\sqrt 3}3b\)，这两个都平凡，根据数学直觉可以猜想答案是线性的，于是答案的表达式就可以得到了：

\[ans=\begin{cases}2\sqrt{b^2-\sqrt 3ab+a^2}&a\le\dfrac{2\sqrt3}3b\\\dfrac{2\sqrt 3}3a&a>\dfrac{2\sqrt3}3b\end{cases} \]

理性分析一下好像还是比较容易，因为不想配图所以就不写了 .

SCOI2009 游戏

对于所有 \(1\dots n\) 的排列，问其所有置换环大小的 LCM 有多少种不同取值 .

\(1\le n\le 1000\) .

发现排列并没有什么用，实际上置换环大小可以等价的转化为任意一组 \(n\) 的拆分 .

然后再观察发现只有 square-free 的数有贡献，别的可以丢掉不看，然后整一个 \(\Theta(n^2)\) 的 01 背包就完了 .

HNOI/AHOI2018 道路

给一个二叉树 \(\mathcal T\)，每个非叶子节点可以标记到左儿子的边或者到右儿子的边其一 .

每种情况的代价为

\[\sum_{i=1}^nc_i(a_i+x_i)(b_i+y_i) \]

其中 \(a,b,c\) 给定，\(x_i,y_i\) 分别为 \(i\) 到根路径上未被标记的左儿子边 / 右儿子边个数 .

问最小代价是多少 .

\(1\le n\le 2\times 10^4\)，\(1\le a_i,b_i\le 60\)，树深度不大于 \(40\) .

朴素 DP，令 \(dp_{u,l,r}\) 表示 \(u\) 到根有 \(l\) 个未被标记的左儿子边，\(r\) 个未被标记的右儿子边，转移平凡 .

需要根据树深度的限制卡一卡空间 .

时间复杂度 \(\Theta(nV^2)\) .