2023.4.18 闲话

想起来 joke3579 说的那个完全免疫信息、精神、模因与逆模因异常的 SCP（SCP-4855 如钢铁陷阱般的心灵），似乎确实有「幻想杀手」的一些要素，比如免疫异常似乎可以看成等价于无效化了异常对她造成的污染，以及「逆崩」也和里幻什么的有点相似啊 . 不过写这个话题是不是没啥受众了 T_T.

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下面的内容凑数用，主要还是看分割线前面的 .

ABC297F Minimum Bounding Box 2

题目中的 \(H,W,K\) 换成 \(n,m,k\) .

令横坐标极差等于 \(i\)，纵坐标极差等于 \(j\) 的方案数为 \(f(i,j)\)，则答案为

\[p=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mij(n-i+1)(m-j+1)f(i,j)\Bigg/\dbinom k{nm} \]

\(f\) 可以先单步容斥后八个方向容斥算，时间复杂度 \(\Theta(nm)\) .

Bonus：可以通过多项式科技优化到 \(\Theta(k\log k)\)，不过有点无意义 .

ABC297G Constrained Nim 2

问题是 ICG 所以只需要求所有 SG 值然后异或起来即可 . 单个游戏的必胜方案比较容易，其实就是类似 Bash 游戏的走模仿步，那么当有 \(x\) 枚石子时当且仅当 \((l+r)\mid x\) 时后手必胜 .

那么对于每个长为 \(l+r\) 的段内长为 \(l\) 的窗口考虑或者打表啥的即可得到 SG 值为 \(\operatorname{sg}(x)=\left\lfloor\dfrac{x\bmod(l+r)}l\right\rfloor\)，证明直接无脑归纳就完了 .

时间复杂度 \(\Theta(n)\) .

ABC296F Simultaneous Swap

排列都会了，竟然卡到有重复元素的部分了 /px

排列情况考虑交换任意两个元素排列逆序对奇偶性一定改变，那么只有两个序列的逆序对奇偶性相同时答案才可能为 Yes . 具体构造可以类似选择排序贪心选的方法 .

对于有重复元素的情况，首先要求排序后两个序列相等否则显然不行 . 那么交换一对重复元素显然没有影响，于是相当于固定一个端点 \(x\)，在另一个序列中做交换操作，问能不能变成其任意排列 . 这个显然是可以的，因为交换两个数 \(u,v\) 可以改成依次交换 \(x,u,\ x,v,\ x,u\)，这样就相当于可以做任意交换操作，显然是可以到达所有排列的 .

时间复杂度 \(\Theta(n)\) 或 \(\Theta(n\log n)\) .

ABC296G Polygon and Points

你说得对 .

就是 lin4xu 讲那个，从该点向正右方引一条射线，然后统计这条射线与多边形的交点个数 . 奇数则在内部，偶数则在外部 . 在多边形上的情况特判一下即可 .

时间复杂度 \(\Theta((n+q)\log n)\) .