2023.4.13 闲话

省选 D1T1 爆零我还以为是点差分的问题，后来听人说点差分没卡后看了一眼代码原来是测完样例后改了一下，大样例过了，小样例炸了 .

知道 CCF 大样例弱，没想到比小样例还弱，绝了我草 .

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卡了一个洛谷 bug：

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对于常数 $x$ 定义：

$$f(n)=\begin{cases}1&n=0\\\displaystyle\sum_{j=1}^xf(n-j)&\text{otherwise.}\end{cases}$$

尽可能快速求 $f$？

Algorithm 1. 矩阵快速幂 $\Theta(x^3\log n)$ .

Algorithm 2. 考察差分 $f(n)-f(n-1)$，展开一层递推可以得到 $f(n)-f(n-1)=f(n-1)-f(n-x-1)$，即 $f(n)=2\cdot f(n-1)-f(n-x-1)$ .

看作一个图上带权路径权值和问题，枚举经过了权值为 $-1$ 的边的个数可以得到 $f$ 的一个表达式：

$$f(n)=\sum_{i = 0}^{\lfloor n / (x + 1) \rfloor} {(-1)}^i 2^{n - i (x + 1)} \binom{n - i x}{i}$$

假设你能 $\Theta(1)$ 求解 2 的次幂和组合数，则直接计算的时间复杂度即为 $\Theta(n/x)$ .

把这两个拼起来平衡，可以得到一个 $\Theta(n^{3/4}\log^{1/4}n)$ 的做法 .

对于常数 $x$ 定义：

$$f(n)=\begin{cases}1&n=0\\\displaystyle\sum_{j=1}^x(-1)^jf(n-j)&\text{otherwise.}\end{cases}$$

尽可能快速求 $f$？

Algorithm 1. 矩阵快速幂 $\Theta(x^3\log n)$ .

Algorithm 2. 考察 $f(n)+f(n-1)$，根据类似做法可以得到 $f(n)=(-1)^xf(n-1-x)-2\cdot f(n-1)$ .

那么还是看作一个图上带权路径权值和问题，枚举经过了权值为 $(-1)^x$ 的边的个数可以得到 $f$ 的一个表达式：

$$f(n)={(-1)}^{n-1}\sum_{i = 0}^{\lfloor n / (x + 1) \rfloor}2^{n - i (x + 1)} \binom{n - i x}{i}$$

假设你能 $\Theta(1)$ 求解 2 的次幂和组合数，则直接计算的时间复杂度即为 $\Theta(n/x)$ .

把这两个拼起来平衡，可以得到一个 $\Theta(n^{3/4}\log^{1/4}n)$ 的做法 .

（UPD. Algorithm 1 换成常系数齐次线性递推可以更快，LOJ #547 匹配字符串）