2023.4.9 闲话

すずめの戸締まり

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定义（可能和某些地方的定义不一致，这不要紧）：

• Dyck 路：从 $(0,0)$ 出发，走 $n$ 步，每次可以走 $U(1,1)$ 或 $D(1,-1)$，最终走到 $(n,0)$ 的一条路 .
• ballot sequences：一个只由 $1,-1$ 组成的序列 $\{a_n\}$，满足所有前缀和不小于 $0$，且所有数的和等于 $0$ .
• 平面树：有根，儿子顺序区分的树 .

构建 Dyck 路（或者 ballot sequences）到二叉平面树的双射：

按 DFS 序遍历二叉树，走到非叶子结点就 U，否则 D，这样建立起 $n+1$ 个叶子的二叉平面树到 $2n+1$ 长的 Dyck 路的双射 .

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应用实例：

O

计数满足如下条件的有 $n-1$ 个非叶子结点的平面树的个数：

• 每个非叶子结点的儿子数量为 1 或 2 .
• 儿子数量为 1 的点只在从根出发的右链上 .

和最初问题一样，按照 DFS 序遍历树，往左儿子走或者唯一的一个儿子走的时候走 U，否则走 D . 不考虑最后的叶结点 . 那么就建立起这个和 Dyck 路的双射 .

Q

计数 $n$ 个点的平面树，其中叶子被染成红色或蓝色 .

开局走一个 U，按照欧拉序遍历，往下走就 U 往上走就 D . 叶子处蓝色走 UD，红色走 DU，结尾走一个 D 结束 . 那么就建立起这个和 Dyck 路的双射 .

思考：$2^k$ 种颜色？