2023.3.22 闲话

好想玩 ATRI ~ My Dear Moments /ll

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看到一个很有意思的东西 .

行列式

\[D_n=\begin{vmatrix}1&-1\\1&1&-1\\&1&1&-1\\&&\ddots&\ddots&\ddots\\&&&1&1&-1\\&&&&1&1\end{vmatrix}_{n\times n} \]

这个其实是 Fibonacci 数列 \(D_n=F_n\) . 考虑按第一列展开即可得到递推 .

尝试推广一下，考虑任意二阶常系数齐次线性递推 \(F_n=aF_{n-1}+bF_{n-2}\)，那么不难想到构造行列式

\[D_n=\begin{vmatrix}a&-b\\1&a&-b\\&1&a&-b\\&&\ddots&\ddots&\ddots\\&&&1&a&-b\\&&&&1&a\end{vmatrix}_{n\times n} \]

类似的考虑按第一列展开即可得到递推 .

考察一下边界，\(D_1=a,D_2=a^2+b\)，其实就是相当于 \(F_0=1,F_1=a\) .

想一下特征根啥的，构造 \(\alpha,\beta\) 使得 \(\alpha+\beta=a,\alpha\beta=-b\)，则行列式 \(D_n\) 可以重新写为

\[D_n=\begin{vmatrix}\alpha+\beta&\alpha\beta\\1&\alpha+\beta&\alpha\beta\\&1&\alpha+\beta&\alpha\beta\\&&\ddots&\ddots&\ddots\\&&&1&\alpha+\beta&\alpha\beta\\&&&&1&\alpha+\beta\end{vmatrix}_{n\times n} \]

考虑求这个行列式，可以考虑普通的递推：

\[F_n=(\alpha+\beta)F_{n-1}-\alpha\beta F_{n-2} \]

这个形式是比较好的，可以导出 \(F_n-\alpha F_{n-1}=\beta(F_{n-1}-\alpha F_{n-2})\)，那么自然得到 \(F_n-\alpha F_{n-1}=\beta^{n-2}(F_2-\alpha F_1)\) .

代入 \(F_1=\alpha+\beta,F_2=\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\) 则可以得到 \(F_n-\alpha F_{n-1}=\beta^n\)，对称地操作可以得到 \(F_n-\beta F_{n-1}=\alpha^n\)，综合可得

\[F_n=\dfrac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta} \]

其实就是特征根方法得到的通项，结果是一样的 .

其实就行列式表出比较有意思，后面就是特征方程推导的传统流程 .

好像没有什么良应用，下面是一个关于应用的想法：

排列计数

给正整数 \(n\)，求：

\[\sum_{\pi}(-1)^{\sigma(\pi)} \]

其中 \(\pi\) 是满足 \(|\pi_i-i|=1\) 的长度为 \(n\) 的排列，\(\sigma(\pi)\) 是 \(\pi\) 的逆序对个数 .

考虑按行列式定义展开得答案为

\[\begin{vmatrix}1&1\\1&1&1\\&1&1&1\\&&\ddots&\ddots&\ddots\\&&&1&1&1\\&&&&1&1\end{vmatrix}_{n\times n} \]

根据上面的讨论可以得到递推 \(F_n=F_{n-1}-F_{n-2}\) . 其中 \(F_1=1,F_2=0\) . 不过这个解有点平凡，甚至 \(n\ge 5\) 都是 \(F_n=0\) .

\(-1\) 看起来可以换成奇奇怪怪的东西？

有没有组合意义啊，求教教 .

没有 \(|\pi_i-i|=1\) 限制：「GLR-R3」立春 .