2023.3.16 闲话

「恒逸，你相信灵魂的存在吗？」 郭恒逸和姚枫茜漫步在枫音乡的街道上。望着漫天飞舞的红枫，枫茜突然问出这样一个问题。

「相信吧。不然我们是什么，一团肉吗？要不是有灵魂......我们也不可能再见到你姐姐吧。」 恒逸给出了一个略微无厘头的回答。枫茜听后笑了笑。 「那你仔细观察过枫叶吗？」 说罢，枫茜伸手，接住了一片飘落的枫叶。

「其实每一片枫叶都是有灵魂的。你看，枫叶上不是有这么多脉络吗？我听说，枫叶上有一些特殊的位置，就和人的穴位一样。脉络都是连接在这些穴位之间的。枫树的灵魂流过每片枫叶的根部，沿着这些脉络，慢慢漫进穴位，沁入整片枫叶。也是因为这个原因，脉络才都是单向的，灵魂可不能倒着溜回来呢。」 恒逸似懂非懂地点了点头。枫茜接着说了下去。

「正是因为有了灵魂，每片枫叶才会与众不同。也正是因为有了灵魂，每片枫叶也都神似其源本的枫树，就连脉络也形成了一棵树的样子。但如果仔细看的话，会发现，在脉络树之外，还存在其它的非常细的脉络。虽然这些脉络并不在树上，但他们的方向也同样顺着灵魂流淌的方向，绝不会出现可能使灵魂倒流的回路。」 恒逸好像突然想到了什么。 「那这些脉络岂不是可以取代已有的脉络，出现在脉络树上？」 枫茜闭上了眼睛。

「是啊，就是这样。脉络树并不是唯一的。只要有一些微小的偏差，脉络树就可能差之万里，哪怕是在这同一片枫叶上。就像我们的故事，结局也不是唯一的。只要改变一个小小的选项，故事流程可能就会被彻底扭转。」

「真是深奥啊......」 恒逸盯着这片红枫，若有所思地说。枫茜继续说道。

「还不止如此呢。所有的脉络都不会永恒存在，也不会永恒消失。不管是脉络树上的脉络，还是之外的细小脉络，都是如此。存在的脉络可能断开消失，消失的脉络也可能再次连接。万物皆处在永恒的变化之中，人与人之间的羁绊也是。或许有一天，我们与大家的羁绊也会如同脉络一样，被无情地斩断。或许我们也终将成为”枫音乡的过客“。或许这一切都会是必然，是枫树的灵魂所决定的......」

枫茜的眼角泛起了几滴晶莹剔透的泪珠。恒逸看着这样的枫茜，将她抱入怀中。

「别这样想，枫茜。就算脉络断开，也有可能还会有新的脉络树，也还会与枫树的根相连。这样的话，我们的羁绊仍然存在，只是稍微绕了一些远路而已。无论如何，我都不会离开你的。因为你是我穷尽一生所寻找的，我的真恋啊！」

两人的目光对上了。枫茜幸福地笑了，把头埋进了恒逸的怀抱。从远方山上的枫林中，传来了枫的声音。

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HNOI2015 落忆枫音

给一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的 DAG，加一条边，问以 \(1\) 为根的外向生成树个数 .

保证不加边的时候存在至少一个满足条件的生成树 .

\(1\le n\le 10^5\)，\(1\le m\le 2\times 10^5\) .

首先考虑 DAG 怎么做，令点 \(u\) 的入度为 \(d_u\)，那么答案就是 \(\displaystyle\prod_{i=1}^nd_i\)，组合意义是给每个点选一个父亲（听说叫朱刘定理）.

那么考虑加一条边后这个统计方式的问题就在于可能选父亲出一个环，那么考虑对于一个环 \(S\)，计算

\[\sum_S\prod_{i\in[1,n]\setminus S}d_i \]

就是 \(S\) 内部钦定父亲，别的地方是 DAG 可以按原来方法统计 .

令加的边为 \((s,t)\)，注意到生成环的方式有且仅有路径 \(t\leadsto s\) 拼上边 \(s\to t\)，则考虑 DP，令 \(dp_u\) 表示路径 \(u\leadsto t\) 作为点集 \(S\)（不必考虑合法性）算出来的值，那么可以简单得到转移

\[dp_u=\dfrac1{d_u}\sum_{v\to u}dp_v \]

这个直接在拓扑序上转移即可，然后简单统计答案就可以了 .

时间复杂度 \(\Theta(n+m)\) .

不过从 matrix-tree 定理的角度看，似乎解决了「求稀疏上三角矩阵加一个元素的行列式」这种魔幻问题……这都啥啊 .

D*G 加**边***树的事情感觉 APJ 不会让我写的 .

不知道能不能算单步容斥，毕竟连个减号都没有的 .