2023.3.2 闲话

STAOI 组了一场 Round 2，我感觉除了 T4 都是菜题，Kaguya 太强了 .

做了一下 OJ 上的「二分图」，然而我清晰的记得

（来源：APJifengc）

所以我做那个是「二分图 fake ver.」？或者是原来那个题单是「二分图 hard ver.」现在这个留下的是「二分图 easy ver.」？

不应该是二分图专题被重新开放了吧我觉得 .

今日推歌：无梦之梦 - はるまきごはん feat. 初音ミク

好听的 .

fun fact：在 joke3579 博客中检索「无梦之梦」能搜到 4 个，全站就 5 个无梦之梦几乎全让 joke3579 占了？

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今天发现 Cramer's Rule 的 trick 已经有人落实了，呃呃，顿时感觉 trick 已然是 well-known .

Cramer's Rule：

线性方程组 \(A\bm x=\bm b\)，解为

\[\bm x_i=\dfrac{\det(A_i)}{\det(A)} \]

其中 \(A_i\) 是把 \(A\) 的第 \(i\) 列改成 \(\bm b\) 的矩阵 .

然后可以自然得到一个 trick：知道矩阵 \(A\)，每次改一行或一列为固定向量，那么可以根据 Gauss 消元得到 \(\bm x\) 和 \(\det(A)\)，然后算 \(\det(A_i)=\bm x_i\det(A)\) 即可 .

某题：

树形图求和

本题中定义的树形图相当于根向生成树，可以应用 matrix-tree 定理 .

考虑每条边的贡献，就是算钦定一条边选的生成树数量，单步容斥变成某条边不选的生成树数量 .

令图的 Kirchhoff 矩阵去掉一行一列后是 \(K\)，则考察去掉一条边 \((u,v)\) 对 \(K\) 的影响是什么，实际上就是 \(K_{u,u}\gets K_{u,u}-1\)，\(K_{u,v}\gets K_{u,v}+1\) .

考虑使用 Cramer's Rule 的 trick，因为每次只改一行所以可以算 \(\det(K_i)=\bm x_i\det(K)\)，\(\det(K)\) 是平凡的，考虑如何求 \(\bm x\) .

对于 \(A\bm x=\bm b\)，考虑不用 Gauss 消元求 \(\bm x\)，直接写出 \(\bm x=A^{-1}\bm b\) .

每次 \(\bm b\) 只会改两项，对于每项扫一遍 \(A^{-1}\) 计算贡献即可 .

这样就 \(\Theta(n^3)\) 了 .