2023.3.1 闲话

今天是 3 月 1 日 .

SoyTony 说的 skyh 排列 DP 是啥啊 .

震惊：GF 大师 joke3579 竟以初学者对 GF 的困惑为乐！这究竟是人性的扭曲还是道德的沦丧 .

今日推歌：Seventina - はるまきごはん feat. 初音ミク

上一句话是仿照 joke3579 的格式写的，不过推歌的根源是每天中午（还是下午）放的歌吗 .

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离散欧拉数：

对于 $n,m,k$，求有多少序列 $\{h_n\}$ 满足 $1\le h_i\le m$ 且恰有 $k$ 个降位 .

考察其二元 GF，对每个不降位容斥则得到

$$\begin{aligned}G(x,y)&=\sum_n\sum_j\dbinom{n-1}{j-1}(-1)^{j-1}\dbinom mnx^ny^j\\&=y\sum_{n\ge 1}\dbinom mnx^n(1-y)^{n-1}\\&=y\dfrac{(1+x(1-y))^m-1}{1-y}\end{aligned}$$

于是答案即为 $F(x,y)\dfrac1{1-G(x,y)}=\dfrac{1-y}{1-y(1+x(1-y))^m}$ .

则可以得到 Eulerian 数的 EGF：

$$\lim_{m\to+\infty}F(x/m,y)=\dfrac{1-y}{1-y\exp((1-y)x)}$$

这是 EI 的日志 2021.7.2 .

如果开局不用 GF 考虑？

考虑 $[0,1)$ 间的实数列 $\{a_n\}$ 有小于 $k$ 个降位的方案 .

那么令 $b_i=a_i-a_{i-1}+[a_i<a_{i-1}]$，那么小于 $k$ 个降位就相当于是 $\sum b_i<k$ .

$b_i$ 的好性质就在于它也是 $[0,1)$ 间的，考虑缩放，令 $b_i\in[0,m)$，那么让 $m\to\infty$ 即可按整数计算得到排列的答案 .

考虑随机选 $\{a\}$，那么 $\{b\}$ 也是随机列，于是可以对每种方案出现的概率求极限，方案数直接插板算 .

令 $F(n,k)$ 表示有不超过 $k$ 个降位的排列数，那么

$$\dfrac{F(n,k)}{n!}=\lim_{m\to+\infty}\dfrac1{m^n}\sum_{i=0}^{k-1}\dbinom ni(-1)^i\dbinom{(k-i)m}n$$

就是

$$F(n,k)=\sum_{i=0}^{k-1}\dbinom ni(-1)^i(k-1)^n$$

这导出了 $\Theta(n+k)$ 求 $F$ 的方案，进而减一下就能线性求单项欧拉数了 .

听说是老科技，以上是摘抄的 .