2023.3.1 闲话

今天是 3 月 1 日 .

SoyTony 说的 skyh 排列 DP 是啥啊 .

震惊：GF 大师 joke3579 竟以初学者对 GF 的困惑为乐！这究竟是人性的扭曲还是道德的沦丧 .

今日推歌：Seventina - はるまきごはん feat. 初音ミク

上一句话是仿照 joke3579 的格式写的，不过推歌的根源是每天中午（还是下午）放的歌吗 .

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离散欧拉数：

对于 \(n,m,k\)，求有多少序列 \(\{h_n\}\) 满足 \(1\le h_i\le m\) 且恰有 \(k\) 个降位 .

考察其二元 GF，对每个不降位容斥则得到

\[\begin{aligned}G(x,y)&=\sum_n\sum_j\dbinom{n-1}{j-1}(-1)^{j-1}\dbinom mnx^ny^j\\&=y\sum_{n\ge 1}\dbinom mnx^n(1-y)^{n-1}\\&=y\dfrac{(1+x(1-y))^m-1}{1-y}\end{aligned} \]

于是答案即为 \(F(x,y)\dfrac1{1-G(x,y)}=\dfrac{1-y}{1-y(1+x(1-y))^m}\) .

则可以得到 Eulerian 数的 EGF：

\[\lim_{m\to+\infty}F(x/m,y)=\dfrac{1-y}{1-y\exp((1-y)x)} \]

这是 EI 的日志 2021.7.2 .

如果开局不用 GF 考虑？

考虑 \([0,1)\) 间的实数列 \(\{a_n\}\) 有小于 \(k\) 个降位的方案 .

那么令 \(b_i=a_i-a_{i-1}+[a_i<a_{i-1}]\)，那么小于 \(k\) 个降位就相当于是 \(\sum b_i<k\) .

\(b_i\) 的好性质就在于它也是 \([0,1)\) 间的，考虑缩放，令 \(b_i\in[0,m)\)，那么让 \(m\to\infty\) 即可按整数计算得到排列的答案 .

考虑随机选 \(\{a\}\)，那么 \(\{b\}\) 也是随机列，于是可以对每种方案出现的概率求极限，方案数直接插板算 .

令 \(F(n,k)\) 表示有不超过 \(k\) 个降位的排列数，那么

\[\dfrac{F(n,k)}{n!}=\lim_{m\to+\infty}\dfrac1{m^n}\sum_{i=0}^{k-1}\dbinom ni(-1)^i\dbinom{(k-i)m}n \]

就是

\[F(n,k)=\sum_{i=0}^{k-1}\dbinom ni(-1)^i(k-1)^n \]

这导出了 \(\Theta(n+k)\) 求 \(F\) 的方案，进而减一下就能线性求单项欧拉数了 .

听说是老科技，以上是摘抄的 .