2023.2.26 闲话

常见 DGF：\(f(n)=[\sqrt[k]{n}\in\Z]\)，其 DGF \(F(z)=\zeta(kz)\) .

有人写成 \(1(\sqrt[k]{n})\)，很厉害的写法啊 .

然而我发现我不太知道这个常见 DGF 就记一下 .

首先 \(f\) 的积性是显然的 .

推导是平凡的，以下是从 DGF 到序列的推导，从序列到 DGF 就反过来即可：

\[F(z)=\zeta(kz)=\sum_{i\ge 1}\dfrac1{i^{kz}}=\sum_{i\ge 1}\dfrac1{(i^k)^z} \]

也就是说函数只在 \(i^k\) 处有值 \(1\) 否则是 \(0\)，这就是 \(f\) 的定义 .

它的逆就是 \(\mu(\sqrt[k]{n})\) .

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例 1：

求

\[f(n)=\sum_{d^k\mid n}\mu(d) \]

的前缀和 .

\(f\) 的 DGF 为 \(\dfrac{\zeta(z)}{\zeta(kz)}\)，杜教筛即可（考虑 \(\zeta(z)\) 和 \(\zeta(kz)\)）.

（\(k=2\) 就是 \(\mu^2\) 前缀和）

例 1 的类似问题：

求

\[\displaystyle g(n)=\sum_{d^k\mid n}d \]

之前缀和 .

其 DGF 为 \(\zeta(z)\zeta(kz)\)，杜教筛即可（考虑 \(\dfrac1{\zeta(z)}\) 和 \(\zeta(kz)\)）.

这个引出了 \(\dfrac1{\zeta(kz)}\) 前缀和的可能性，同样杜教筛即可 .

这样就 \(\Theta(n^{2/3})\) 解决了 \(\dfrac1{\zeta(kz)}\) 前缀和，感觉有点厉害（UPD. 直接考虑 \(1\) 和 \(\zeta(kz)\) 就行了，我是什么 sb）.