2023.2.26 闲话

常见 DGF：$f(n)=[\sqrt[k]{n}\in\Z]$，其 DGF $F(z)=\zeta(kz)$ .

有人写成 $1(\sqrt[k]{n})$，很厉害的写法啊 .

然而我发现我不太知道这个常见 DGF 就记一下 .

首先 $f$ 的积性是显然的 .

推导是平凡的，以下是从 DGF 到序列的推导，从序列到 DGF 就反过来即可：

$$F(z)=\zeta(kz)=\sum_{i\ge 1}\dfrac1{i^{kz}}=\sum_{i\ge 1}\dfrac1{(i^k)^z}$$

也就是说函数只在 $i^k$ 处有值 $1$ 否则是 $0$，这就是 $f$ 的定义 .

它的逆就是 $\mu(\sqrt[k]{n})$ .

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例 1：

求

$$f(n)=\sum_{d^k\mid n}\mu(d)$$

的前缀和 .

$f$ 的 DGF 为 $\dfrac{\zeta(z)}{\zeta(kz)}$，杜教筛即可（考虑 $\zeta(z)$ 和 $\zeta(kz)$）.

（$k=2$ 就是 $\mu^2$ 前缀和）

例 1 的类似问题：

求

$$\displaystyle g(n)=\sum_{d^k\mid n}d$$

之前缀和 .

其 DGF 为 $\zeta(z)\zeta(kz)$，杜教筛即可（考虑 $\dfrac1{\zeta(z)}$ 和 $\zeta(kz)$）.

这个引出了 $\dfrac1{\zeta(kz)}$ 前缀和的可能性，同样杜教筛即可 .

这样就 $\Theta(n^{2/3})$ 解决了 $\dfrac1{\zeta(kz)}$ 前缀和，感觉有点厉害（UPD. 直接考虑 $1$ 和 $\zeta(kz)$ 就行了，我是什么 sb）.