2022 SSSP

SSSP：Solution Set - Shortest Paths，词源 Rainybunny .

SSSP 又同 Single Source Shortest Paths，真是纯正无意义谜语人标题了 .

最短路都不会了，补一份档 .

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$$\mathfrak{Defining~\LaTeX~macros\dots}\newcommand{\dist}[0]{\operatorname{dist}}$$

以下 $\dist$ 是最短路长度，$n,m$ 是点数和边数，一般认为同阶 .

最远点对

一棵树，$q$ 组询问，每次给两个区间 $[a,b],[c,d]$，求 $\max\{\dist(i,j)\mid a\le i\le b\land c\le j\le d\}$ .

$1\le n,q\le 10^5$ .

线段树维护，维护子树内最远两点，合并信息时 $6$ 种情况分类讨论即可 .

查询的时候也考虑用这个维护方式，$4$ 个点分类讨论即可 .

具体证明就反证法瞎整就证完了 .

时间复杂度 $\Theta((n+q)\log n)$ .

那一天她离我而去

给一张无向图，求 $1$ 所在的最小环长度，不能为空 .

$T\le 10$，$n\le 10^4$，$m\le 4\times 10^4$ .

标算：对于每一位只保留与 $1$ 邻接且当前位为 $1$ 的边然后跑暴力，就是对每个断了的边 $(1,u)$ 算 $\dist(u,1)$ 然后更新答案 .

显而易见这个是能枚举到所有的环的，于是就 $\Theta(m\log^2m)$ 了，可以过了 .

然而这题喜闻乐见地被 joke3579，crs_line 众人爆标了，因为问题是下一题「最小距离」的特例 .

最小距离

给一张无向图，给 $k$ 个关键点，求每个关键点到最近另一关键点的最短距离 .

$1\le n,m\le 10^6$ .

开局把所有点全 push 进优先队列然后跑 Dijkstra，就求出来任意一个关键点到某点的最短距离，顺便记一下是哪个关键点的贡献 .

然后枚举一条边，若这条边的两个端点的最短路来自两个不同关键点，更新这两个关键点的答案即可 .

时间复杂度 $\Theta(m\log m)$ .

重：GXOI/GZOI2019 旅行者

CF1343E：听说很强 .