2023.2.22 闲话

三无marblue - 心生七面 善恶难辨

我看见你的脸在破碎

你的手在指谁

你的心在哭泣

黑夜中谁

站在我床头轻言

一张假面具画着谁的脸

他悄悄地说着我睁开眼

看不清看不见

听不清听不见

熟悉的身影悄悄出现

我的手我的耳

我的心我的眼

都交给时间慢慢相连

梦中梦梦未醒梦见

谁的思念绵延

一面哭一面笑

一面黑一面白

一面恶一面善

七颗心七张面

一边哭一边笑

七颗心七张面

七个人都是她

就忘却一切回到最初啊

就破坏一切到最后吧

就假装微笑撕碎悲伤啊

就亲手将世界毁灭啊

梦醒来铜镜中

是陌生的脸

那是谁那是你

那是我那是她

我被谁改变黑白之间

被抛弃被遗忘

被欺骗被敷衍

模糊的身影苍白厌倦

我的手我的耳

我的心我的眼

都交给你们慢慢相连

梦中梦梦未醒梦见

谁的思念绵延

一面哭一面笑

一面黑一面白

一面恶一面善

七颗心七张面

一边哭一边笑

七颗心七张面

七个人都是她

去忘却一切回到最初啊

去破坏一切到最后啊

去假装微笑撕碎悲伤啊

去亲手将世界毁灭啊

当世界只剩下了我一人

悄无声息的哭啊

还要假装微笑欺骗

整个世界啊

我的心渐渐改变

你的脸慢慢浮现

被忘却的人

还在梦中不回来啊

模糊的身影

跟我回家吧

被抛弃被遗忘

被欺骗被敷衍

请放弃抵抗

你的灵魂和脸

都交给我慢慢相连

我看见你的脸在破碎

你的手在指谁

你的心在哭泣

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一个问题：

长为 \(n\) 的 01 环，初始全 \(0\)，每次可以翻转一个长为 \(k\) 的连续段，问可能达到多少种不同状态，环不能旋转或翻转 .

在异或线性空间上看，状态数就是 \(2^{size}\) 了，考虑首先把题目变成「可以翻转一段固定的长度为 \(k\) 的段或者距离为 \(k\) 的两点」，正确性比较显然 .

先考虑距离为 \(k\) 的两点，可以构成 \(\gcd(n,k)\) 个置换环，每个环 \(\dfrac n{\gcd(n,k)}\) 个元素，每个环能到的大小是 \(2^{\frac n{\gcd(n,k)}-1}\)，于是 \(\gcd(n,k)\) 个环就是 \(2^{n-\gcd(n,k)}\) .

考虑固定的连续段有什么贡献，显然如果它能被距离为 \(k\) 的两点表示出来就没贡献否则状态数翻倍，显然它在所有置换环里地位平等，都有 \(\dfrac{k}{\gcd(n,k)}\) 个元素，于是它能被表示出来当且仅当 \(\dfrac{k}{\gcd(n,k)}\) 是偶数 .

综合即得答案为 \(2^{n-\gcd(n,k)+(\frac{k}{\gcd(n,k)}\bmod 2)}\) .