「杂题乱写」Codeforces 上 DP 乱写

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原博客：SoyTony .

目录

• CF607B Zuma
• CF178F Representative Sampling
• CF1774E Two Chess Pieces
• CF1783D Different Arrays
• CF1771D Hossam and (sub-)palindromic tree
• CF1761D Carry Bit
• CF1743E FTL

CF607B Zuma

给一个长度为 $n$ 的字符串 $a$，每次可以选一个回文子串消掉，问至少消几次能消完 .

$1\le|\Sigma|\le n\le 500$ .

魔幻区间 DP .

首先处理长度不大于 $2$ 的答案，这是平凡的 .

然后考虑如果对于 $a_l = a_r$，那么消除 $[l+1,r-1]$ 的时候肯定能顺便把 $a_l,a_r$ 也消了，否则枚举断点拆成两半转移即可 .

时间复杂度 $\Theta(n^3)$ .

CF178F Representative Sampling

给 $n$ 个字符串，要求选出一个 $k$ 元子集 $\{a_k\}$，使得

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n|\operatorname{lcp}(a_i,a_j)|$$

最大 .

$n\le 2000$，字符串长度不大于 $500$ .

（F2：$n\le 100$）考虑 Trie 树上 DP，令 $dp_{u,k}$ 表示 $u$ 的子树选了 $k$ 个串的答案，转移是树形背包，时间复杂度 $\Theta(ck)$，$c$ 是 Trie 树点数，无法得到满分 .

把树压缩一下，留下表示字符串末尾节点的虚树，这样就有 $c=\Theta(n)$，时间复杂度即为 $\Theta(nk)$，可以通过 .

CF1774E Two Chess Pieces

$n$ 个点的树上两个指针 A, B，要求任意时刻 A, B 间距离不超过 $d$ .

A,B 有一些必须经过的结点，每次操作可以将 A 或 B 移动一步，问 A, B 从根节点出发遍历所有点后回到根的最小步数 .

$2\le d\le n\le 2\times 10^5$ .

处理每个点 $u$ 子树内最深结点深度 $f(u)$，维护 $dp_{1,u}$ 表示只靠一个指针环游 $u$ 子树内结点的答案，$dp_{2,u}$ 表示两个指针环游 $u$ 子树内的答案 .

对于每条边 $(u,v)$，如果 $f(v)-\operatorname{dep}(u)>d$ 或者 $u$ 子树内有 A, B 都要去的点，那么对于这条边的 $dp_{2,u}$ 就必须有 A,B 移动的四次贡献（这时候 $dp_{1,u}$ 未定义，不过也不需要可以不管），否则可以借助 $dp_{1,u}$ 的答案走两步转移到祖先（此时一定可以只用一个指针完成任务，另一个不用动）.

实际操作的时候可以把每个 $dp_1$ 加一，比较好转 .

时间复杂度 $\Theta(n)$ .

CF1783D Different Arrays

给一个序列 $\{a_n\}$，对于所有 $1<i<n$，执行操作 $a_{i+1}\gets a_{i+1}+a_i$，$a_{i-1}\gets a_{i-1}-a_i$ 或 $a_{i+1}\gets a_{i+1}-a_i$，$a_{i-1}\gets a_{i-1}+a_i$ .

问最后可能有多少种不同的序列 .

$1\le n,a_i\le 300$ .

令 $dp_{i,j}$ 表示到第 $i$ 个操作前 $a_i=j$ 的答案，转移的时候对于 $j=0$ 两种操作生成序列相同否则不同 .

这样即可做到 $\Theta(nV)$ .

CF1771D Hossam and (sub-)palindromic tree

给一棵 $n$ 个点的树，每个点上有一个字符，找一条最长的链使得链上节点上的字符顺次链接为回文串 .

$\displaystyle\sum n\le 2\times 10^3$ .

考虑序列上的问题就是区间 DP，令 $dp_{l,r}$ 为 $[l,r]$ 的答案，则

$$dp_{l,r}=\max\{dp_{l+1,r},dp_{l,r-1},dp_{l+1,r-1}+2[s_l=s_r]\}$$

上树的话考虑每条链 $u,v$ 往里缩一格得到的转移即可 .

转移点可以倍增预处理，时间复杂度 $\Theta(n^2\log n)$ .

CF1761D Carry Bit

给两个整数 $n,k$，问有多少 $(a,b)$ 满足 $0\le a,b<2^n$ 且 $a+b$ 二进制下的进位数为 $k$ .

$0<k\le n\le 10^6$

考虑 DP，$dp_{i,j,0/1}$ 表示 $1\dots i$ 共进了 $j$ 位，最后进位 / 未进位的方案数 .

经过朴素的分类讨论可以得到转移：

$$\begin{aligned}&dp_{i,j,0}=3\cdot dp_{i-1,j,0}+dp_{i-1,j-1,1}\\&dp_{i,j,0}=3\cdot dp_{i-1,j-1,1}+dp_{i-1,j,0}\end{aligned}$$

观察可以发现，如果对于每一位的进位 / 未进位已经钦定完毕，那么只有相邻状态不一样的位置会产生贡献，这个等价于连续段数量 .

于是考虑枚举连续段数量 $i$，然后讨论首位是否进位后插板法即可 .

时间复杂度 $\Theta(n)$ .

需要注意一下 corner case .

CF1743E FTL

有两艘飞船，第 $i$ 艘飞船的攻击力为 $p_i$，每一次攻击的充能时间为 $t_i$，一开始两艘飞船没有充能 .

现在要打败敌方飞船，敌方飞船的血量为 $h$，防御力为 $s$ . 对于一次攻击力为 $P$ 的攻击，敌方飞船的血量会减少 $(P-s)$ . 攻击的攻击力为所有参与攻击的飞船攻击力之和 .

敌方飞船血量不大于 $0$ 即被打败，问最少需要多少时间能够打败敌方飞船 .

$2\le h,p_1,p_2\le 5000$ .

考虑两个飞船同时攻击就相当于回复到初始状态，于是 DP 处理对于每个 $i\in[0,h]$ 处理最后一次两个一起攻击前面都不一起攻击打掉 $i$ 格血的答案 .

然后 DP 统计一下把上面的东西组合起来的答案即可 .

时间复杂度 $\Theta(h^2)$ .

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（注：不会更新，纯属搞笑用）