2023.2.19 闲话

upd on 14:14

临川浮梦 - 星尘infinity/赤羽

【赤羽】

昆曲：

不到园林，怎知春色如许

【星尘infinity】

一滴梦沿着笔锋摔落

洇开了满纸鲜活

梅花岭畔月 留待多情者

荒唐、荒乱、荒凉的哪种结局更配我

人间、人生、人心何曾被现实放过

我病着与生俱来的反骨

戏中人各饮一杯哭

【赤羽】

梦过知音千樽酒 知交共白头 知苦与恨皆休

一生快哉风里舟 最顽心不改少年游

倏（shū）尔惊醒窗前霜雪凛夜 浊世淹过喉

梦在心上心便温柔

【星尘infinity】

一笺未曾干枯的魂魄

生动着悲欢离合

鬓边紫玉钗 榻上槐安国

凄惘、迷惘、怅惘的哪种困顿能困我

灵气、浩气、锐气向世间扬手一泼

且以这一字字碎玉词歌

为苍生抔起一簇火

【赤羽】

梦过无际闲云岫（xiù） 无拘春至秋 无愧逝水悠悠

一生清白月如钩 最一往而深著风流

倏尔惊醒窗前霜雪凛夜 浊世淹过喉

梦在心上心便温柔

黄粱酒尚温，孰醒孰梦深。拂面是红尘，亦幻亦当真

---

整除分块求：

\[\sum_{i=1}^ng(i)\left\lfloor\dfrac n{f(i)}\right\rfloor \]

其中 \(f\) 单调增 .

关键在于找右端点 .

对于一个位置 \(i\)，令 \(k=\left\lfloor\dfrac n{f(i)}\right\rfloor\) .

\[\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor\ge\left\lfloor\dfrac n{\frac n{f(i)}}\right\rfloor=\lfloor f(i)\rfloor=f(i) \]

于是 \(i_{\max}=f^{-1}\left(\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor\right)=f^{-1}\left(\left\lfloor\dfrac n{\lfloor\frac n i\rfloor}\right\rfloor\right)\) .

二分 \(f^{-1}\) 即可 \(\Theta(\sqrt n\log n)\) .

例子：

• \(f(x)=x\)，朴素整除分块 .
• \(f(x)=x^2\)，sqrt(n/(n/i/i) .
• \(f(x)=\lfloor\sqrt x\rfloor\)，？？？

---

讨论特殊情况：\(f(n)=n^{\alpha}\)，\(\alpha\in\N\) .

Method 1：沿用以上做法 .

Method 2：对于 \(i\le n^{\frac1{\alpha}}\) 枚举 \(i\)，否则枚举 \(\left\lfloor\dfrac n{f(i)}\right\rfloor\) .

可以扩展到一般情况但较繁琐 .

Method 2 反倒是更自然一点，怎么回事 .