2023.2.17 闲话

upd on 15:25

攀登

有多少人被高耸入云的山阻挡
有多少人
停在离成功一步之遥的路上
有多少人只沉浸于对他人的赞赏
失去了行动力幻想永远只是幻想
但想去做却给自己找了太多理由
不断地说服自己放弃
甚至对自己乞求
你做不到的放弃吧忘记它
像一把沙子扬起
四散的信心相继破灭
对现实说向你妥协不如当一片落叶
让一天白费再说自己 忘记写作业
借口总有很多可以选择来麻醉自己
但山就在那里没有消失
闭上眼的是你
我曾经数个小时不停只为攻破难关
重复着一遍又一遍
一遍又一遍的失败叹惋
不要止步不前瞻前顾后忌惮于山峰
只需睁开眼睛放下一切尽管去攀登
我仍在不断攀登
自从我诞生
云雾在不断翻腾
还未见山顶
我的朋友们
攀登到了山腰的分岔路口
他要做出选择
继续前行或是停滞不走
当暴风雪压下一个人
再强也只能束手
但屈尊于他人
最终难免会变成提线木偶
虎口下又有谁能真的保持本心幸免
潮流在不断推进
攀登不能再只依靠经验
当你不再是那个青年
不再能够保持领先
不想被风沙淘汰
就必须学会随机应变
开始有人抱怨
为何付出没有开花结果
为什么本应属于自己的荣誉
被他人截获
将不安埋藏之后
继续为观众展出喜剧
攀登者受到的考验
绝对不止山路崎岖
当你站在山顶俯瞰来时的小路
多少次苦难
在这条路上想要停止脚步
攀登顶点的人更应该记住恪尽职守
对山保持敬畏时刻有着学徒的心
我仍在不断攀登
自从我诞生
云雾在不断翻腾
还未见山顶
开始有人抱怨
为何付出没有开花结果
为什么本应属于自己的荣誉
被他人截获
将不安埋藏之后
继续为观众展出喜剧
攀登者受到的考验
绝对不止山路崎岖
当你站在山顶俯瞰来时的小路
多少次苦难
在这条路上想要停止脚步
攀登顶点的人更应该记住恪尽 职守
对山保持敬畏 时刻有着学徒的心
我仍在不断攀登
自从我诞生
云雾在不断翻腾
还未见山顶

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经典问题，求下式：

\[\sum_{i=1}^n\mu(i)^2 \]

用朴素容斥可以知道答案就是

\[\sum_{i = 1}^{n} \mu(i)^2 = \sum_{i = 1}^{\lfloor \sqrt n \rfloor} \mu(i) \left\lfloor \dfrac n {i^2} \right\rfloor \]

（DZY Loves Math VII - Task II）

一点组合意义都没有的不知道有啥意义的推导（好像还是我给 joke3579 说的）.

然后就可以 \(\Theta(\sqrt n)\) 暴力求了 . upd. 假如你能 \(\Theta(1)\) 求 \(\mu\) 前缀和，整除分块后就可以 \(\Theta(n^{1/3})\) 了.

想一下杜教筛行不行，显然 \(\mu^2\) 的 DGF 是 \(\dfrac{\zeta(x)}{\zeta(2x)}\)，\(\zeta(x)\) 是 \(1\)，\(\zeta(2x)\) 是 \(1(\sqrt n)\)，都可以 \(\Theta(1)\) 求前缀和，于是杜教筛即可 \(\Theta(n^{2/3})\)，什么劣化 .

然后套上整除分块看一下：

求

\[\sum_{i=1}^n\mu(i)^2\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor \]

沿用上杜教筛做法可以 \(\Theta(n^{2/3})\)，这优越性就体现出来了 .

如果第一步先整除分块还有阈值分治做法，考虑对于大于 \(B=n^{\varepsilon}\) 的 \(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\) 用 \(\Theta(\sqrt n)\) 做法，小于的用一个 \(\Theta(B)\) 的线性筛做 .

小于部分显然复杂度为 \(\Theta(n^{\varepsilon})\)，大于部分直接积分：

\[\int_1^{n^{1-\varepsilon}}\sqrt{\dfrac nx}\mathrm dx=\Theta(n^{1-\varepsilon/2}) \]

然后平衡一波可以得到 \(\varepsilon=2/3\) 最优，时间复杂度 \(\Theta(n^{2/3})\) .

或者根据类似 DSF 的平凡转换可以先变成 \(\mu^2*1\) 前缀和 .

我感觉杜教筛可以 \(\Theta(n^{2/3})\) .

好像能更优秀，考虑 PN 筛，构造 \(f=\mu^2*1\)，\(g=\sigma\)，\(\sigma\) 是约数个数 .

观察可以发现 \(h=f*g*\mu\) 对于 \(p\in\mathbb P\) 只有 \(h(p^2)\) 有值，具体可以考虑直接代入 \(f(p^k)=2\) 和 \(g(p^k)=k+1\) .

从而根据 \(h\) 的积性可以得到 \(h\) 只有完全平方数处有值，再结合 Powerful Number 啥的可以把复杂度表为积分：

\[\Theta\left(n^{1/3}+\int_1^{\sqrt n}\dfrac n{x^2}\,\mathrm dx\right)=\Theta(\sqrt n) \]

以上假设 \(\sigma\) 的前缀和可以 \(\Theta(n^{1/3})\) 预处理 \(\Theta(1)\) 求，这个感觉很多人都已经知道了，具体内容见 http://export.arxiv.org/pdf/1206.3369 .

如果用 \(\Theta(\sqrt n)\) 求的前缀和（就最朴素的转成 DSF 整除分块求），那么可以根据上面的分析就是 \(\Theta(\sqrt n\log n)\) 的，也是非常优秀 .

我没想这个做法能不能迁移到 \(\mu^2\) 前缀和，也不太想思考了 .

要是能迁移的话就自然能迁移到 \(\mu^2*\mu^2\) 前缀和（2022.12.22 闲话）.

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upd.

好优啊 .