2023.1.30 闲话

推歌：デビルじゃないもん .

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APJ 给我发了一个论文鸽的云剪切板 /paste/ljlnucke，我来摘抄一下 .

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zeta 变换（因子方向）：

\[f\zeta(n)=\sum_{d\mid n}f(d) \]

（Dirichlet 前缀和，素因子维度上高维前缀和，Möbius 变换的逆）

\(\Theta(n\log n)\) 算法：枚举倍数，复杂度是调和级数 .

\(\Theta(n\log\log n)\) 算法：枚举素数作高维前缀和，根据 Mertens 第二定理就是 \(\Theta(n\log\log n)\) .

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zeta 变换（倍数方向）：

\[\zeta f(n)=\sum_{n\mid d}f(d) \]

（Dirichlet 后缀和，素因子维度上高维后缀和，Möbius 变换的逆）

倍数方向的分析种常令 \(n\) 为使得 \(f(n)\neq 0\) 的最大 \(n\)，一般认为存在这样的整数 \(n\) .

\(\Theta(n\log n)\) 算法：枚举倍数，复杂度是调和级数 .

\(\Theta(n\log\log n)\) 算法：略 .

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Möbius 变换（因子方向）：

\[f\mu(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(\dfrac nd\right)f(d) \]

\(\Theta(n\log n)\) 算法：枚举倍数，复杂度是调和级数 .

\(\Theta(n\log\log n)\) 算法：和 zeta 变换完全相反做即可

_rqy 有一个 DP 解释：

比如要算 \(f*\mu=g\)，也就是 \(g=f\mu\) 的时候，考虑令

\[g_{i,n}=\sum_{\substack{d\mid n\cr d\text{ 只含前 } i \text{ 种素因子}}}\mu\left(\dfrac nd\right)f(d) \]

可以转移：

\[g_{i,n}=\begin{cases}g_{i-1,n}&p_i\nmid n\\g_{i-1,n}-g_{i-1,n/p_i}&p_i\mid n\end{cases} \]

也是根据 Mertens 第二定理可以得到复杂度 .

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Möbius 变换（倍数方向）：

\[\mu f(n)=\sum_{n\mid d}f(d) \]

倍数方向的分析种常令 \(n\) 为使得 \(f(n)\neq 0\) 的最大 \(n\)，一般认为存在这样的整数 \(n\) .

\(\Theta(n\log n)\) 算法：枚举倍数，复杂度是调和级数 .

\(\Theta(n\log\log n)\) 算法：略 .

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以上内容就是说 \(f\zeta = f*1\)，\(f\mu = f*\mu\)，倍数方向相反 .

一些性质：

逆：\(f\zeta\mu=f\mu\zeta=\zeta\mu f=\mu\zeta f=f\) .

卷积（gcd/lcm 卷积）

\[\begin{aligned}&h\zeta(n)=f\zeta(n)g\zeta(n)\\\Longleftrightarrow&h(n)=\sum_{\operatorname{lcm}(i,j)=n}f(i)g(j)\\&\zeta h(n)=\zeta f(n)\zeta g(n)\\\Longleftrightarrow&h(n)=\sum_{\gcd(i,j)=n}f(i)g(j)\end{aligned} \]

以上内容根据定义即可证明 .

听说 gcd/lcm 卷积可以推广到任意的半格

备份：原来编的题

给正整数 \(n\)，求

\[\sum_{k=1}^nk\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nk\rfloor}\sum_{d=1}^{\min\{i,k\}}\mu(d)\gamma_d(i)\gamma_d(k)\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor \]

其中 \(\displaystyle\gamma_d(n)=\sum_{i\mid d}[\gcd(n,i)=1]\) .

\(1\le n\le 5\times 10^6\) .

观察可得原式即为

\[\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nk\rfloor}d(ik)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nk\rfloor}ik \]

仔细观察可以发现就是 gcd 卷积，于是 \(\Theta(n\log\log n)\) 做就行了 .

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四元组统计

给序列 \(\{a_n\}\)，问有多少四元组 \((i,j,k,l)\) 满足 \(\gcd(a_i,a_j,a_k,a_l)=1\) .

多组数据，\(T\le 100\)，\(n,a_i\le 10^4\) .

gcd 卷积 .