2023.1.30 闲话

推歌：デビルじゃないもん .

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APJ 给我发了一个论文鸽的云剪切板 /paste/ljlnucke，我来摘抄一下 .

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zeta 变换（因子方向）：

$$f\zeta(n)=\sum_{d\mid n}f(d)$$

（Dirichlet 前缀和，素因子维度上高维前缀和，Möbius 变换的逆）

$\Theta(n\log n)$ 算法：枚举倍数，复杂度是调和级数 .

$\Theta(n\log\log n)$ 算法：枚举素数作高维前缀和，根据 Mertens 第二定理就是 $\Theta(n\log\log n)$ .

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zeta 变换（倍数方向）：

$$\zeta f(n)=\sum_{n\mid d}f(d)$$

（Dirichlet 后缀和，素因子维度上高维后缀和，Möbius 变换的逆）

倍数方向的分析种常令 $n$ 为使得 $f(n)\neq 0$ 的最大 $n$，一般认为存在这样的整数 $n$ .

$\Theta(n\log n)$ 算法：枚举倍数，复杂度是调和级数 .

$\Theta(n\log\log n)$ 算法：略 .

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Möbius 变换（因子方向）：

$$f\mu(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(\dfrac nd\right)f(d)$$

$\Theta(n\log n)$ 算法：枚举倍数，复杂度是调和级数 .

$\Theta(n\log\log n)$ 算法：和 zeta 变换完全相反做即可

_rqy 有一个 DP 解释：

比如要算 $f*\mu=g$，也就是 $g=f\mu$ 的时候，考虑令

$$g_{i,n}=\sum_{\substack{d\mid n\cr d\text{ 只含前 } i \text{ 种素因子}}}\mu\left(\dfrac nd\right)f(d)$$

可以转移：

$$g_{i,n}=\begin{cases}g_{i-1,n}&p_i\nmid n\\g_{i-1,n}-g_{i-1,n/p_i}&p_i\mid n\end{cases}$$

也是根据 Mertens 第二定理可以得到复杂度 .

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Möbius 变换（倍数方向）：

$$\mu f(n)=\sum_{n\mid d}f(d)$$

倍数方向的分析种常令 $n$ 为使得 $f(n)\neq 0$ 的最大 $n$，一般认为存在这样的整数 $n$ .

$\Theta(n\log n)$ 算法：枚举倍数，复杂度是调和级数 .

$\Theta(n\log\log n)$ 算法：略 .

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以上内容就是说 $f\zeta = f*1$，$f\mu = f*\mu$，倍数方向相反 .

一些性质：

逆：$f\zeta\mu=f\mu\zeta=\zeta\mu f=\mu\zeta f=f$ .

卷积（gcd/lcm 卷积）

$$\begin{aligned}&h\zeta(n)=f\zeta(n)g\zeta(n)\\\Longleftrightarrow&h(n)=\sum_{\operatorname{lcm}(i,j)=n}f(i)g(j)\\&\zeta h(n)=\zeta f(n)\zeta g(n)\\\Longleftrightarrow&h(n)=\sum_{\gcd(i,j)=n}f(i)g(j)\end{aligned}$$

以上内容根据定义即可证明 .

听说 gcd/lcm 卷积可以推广到任意的半格

备份：原来编的题

给正整数 $n$，求

$$\sum_{k=1}^nk\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nk\rfloor}\sum_{d=1}^{\min\{i,k\}}\mu(d)\gamma_d(i)\gamma_d(k)\left\lfloor\dfrac nk\right\rfloor$$

其中 $\displaystyle\gamma_d(n)=\sum_{i\mid d}[\gcd(n,i)=1]$ .

$1\le n\le 5\times 10^6$ .

观察可得原式即为

$$\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nk\rfloor}d(ik)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nk\rfloor}ik$$

仔细观察可以发现就是 gcd 卷积，于是 $\Theta(n\log\log n)$ 做就行了 .

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四元组统计

给序列 $\{a_n\}$，问有多少四元组 $(i,j,k,l)$ 满足 $\gcd(a_i,a_j,a_k,a_l)=1$ .

多组数据，$T\le 100$，$n,a_i\le 10^4$ .

gcd 卷积 .