2023.1.29 闲话

目录

• rpoks
  • 题面
  • A. 一般情况
    • Algorithm 1. $\Theta(nq\log k)$
    • Algorithm 2. $\Theta(nk)$
    • Algorithm 3. $\Theta(nq\log^2 n)$
    • Algorithm 4. $\Theta(n\log^2n+\sqrt{nkq}\log n)$
  • B. 限制 $\sum k$
    • Algorithm 1. $\Theta(n\sqrt{mq})$
    • Algorithm 2. $\Theta(n\sqrt m+q)$
    • Algorithm 3. $\Theta(n\log^2n+q\sqrt{nm}/\log^3 n)$

洛谷的 /discuss/563971 给出了一个比较有意思的题 .

rpoks

以下是我想象力范围内的做法，太难的不会 .

有错重 D 谢谢 .

题面

静态区间等幂和（编码 rpoks）

给一个序列 $\{a_n\}$，$q$ 组询问，每次给三个整数 $l,r,k$，求 $\displaystyle\sum_{i=l}^ra_i^k$，对 $998244353$ 取模 .

复杂度不算值域 .

A. 一般情况

Algorithm 1. $\Theta(nq\log k)$

暴力快速幂 .

Algorithm 2. $\Theta(nk)$

离线下来对于每个 $k$ 做 .

Algorithm 3. $\Theta(nq\log^2 n)$

joke3579 早就指出

$$\sum_{i=1}^na_i^k=[z^k]\sum_{i=1}^n\dfrac1{1-a_iz}$$

分治 NTT 暴力计算即可 .

Algorithm 4. $\Theta(n\log^2n+\sqrt{nkq}\log n)$

对于 Algorithm 3 分块，块内用分治 NTT 求出答案的前 $k$ 项，多点求值求出 $1\dots k$ 的答案，查询的时候块内暴力，块间查表即可 .

令块长为 $B$，则时间复杂度 $\Theta\left(\dfrac nB(B\log^2n+k\log^2n)+qB\right)$，取块长为 $B=\log n\sqrt{\dfrac{nk}q}$ 即可 .

我还不知道怎么不用多点求值做 .

B. 限制 $\sum k$

以下令 $m=\sum k$ .

Algorithm 1. $\Theta(n\sqrt{mq})$

根据 A 情况的 Algorithm 2 的做法，这里本质不同的 $k$ 最多 $2\sqrt m$ 个，于是算法的复杂度变成 $\Theta(n\sqrt{mq})$ .

Algorithm 2. $\Theta(n\sqrt m+q)$

根号分治，$k\le\sqrt m$ 的时候对所有 $k$ 打前缀和表，询问直接查 .

$k>\sqrt m$ 只会有不超过 $\sqrt m$ 组，直接暴力 .

Algorithm 3. $\Theta(n\log^2n+q\sqrt{nm}/\log^3 n)$

根据 A 情况的 Algorithm 4，阈值分治，$k\le C$ 的预处理，$k>C$ 的询问的时候现算 .

令块长为 $B$，则时间复杂度 $\Theta\left(\dfrac nB(B\log^2n+C\log n)+\dfrac nB\cdot \dfrac nC\cdot m\log n+qB\right)$ .

取 $B=\sqrt{\dfrac{nm}{\log^3 n}}$，$C=\sqrt{\dfrac{nm}{\log n}}$ 即可 .