2023.1.27 闲话

SoyTony 问我最小公倍佩尔数的 $f_n=2f_{n-1}+f_{n-2}$ 为什么有 GCD 性质 .

下面证明一下（数学归纳法练习题

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二阶常系数齐次线性递推数列：

$$f_n=x\cdot f_{n-1}+y\cdot f_{n-2}$$

初值 $f_0=0$，$f_1=1$ .

欲证明：$x\perp y\Longrightarrow f_{\gcd(n,m)}=\gcd(f_n,f_m)$ .

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证明：

Lemma 1

$$f_{n+m}=y\cdot f_nf_{m-1}+f_{n+1}f_m$$

对 $m$ 用数学归纳法：

• $m=1$ 时，命题即为 $f_{n+1}=y\cdot f_n\cdot f_0+f_{n+1}\cdot f_1$，因为 $f_0=0$，$f_1=1$ 所以显然成立 .
• $m=2$ 时，命题即为 $f_{n+2}=y\cdot f_n\cdot f_1+f_{n+1}\cdot f_2$，因为 $f_1=1$，$f_2=x$ 所以显然成立 .
• 当 $m>2$ 时，根据归纳假设就有
  $$\begin{aligned}&f_{n+m-1}=y\cdot f_nf_{m-2}+f_{n+1}f_{m-1}\\&f_{n+m-2}=y\cdot f_nf_{m-3}+f_{n+1}f_{m-2}\end{aligned}$$
  上式乘 $x$ 加下式乘 $y$ 即得原命题 .

$$\tag*{□}$$

Lemma 2

$$f_n\perp y$$

对 $n$ 用数学归纳法：

• $n=1$ 时，显然成立 .
• $n>1$ 时，因为 $f_n=x\cdot f_{n-1}+y\cdot f_{n-2}$，根据归纳假设及题设，$x,f_{n-1}$ 均与 $y$ 互质，于是 $x\cdot f_{n-1}\perp y$，从而
  $$f_n=x\cdot f_{n-1}+y\cdot f_{n-2}\equiv x\cdot f_{n-1}\pmod y$$
  从而 $f_n\perp y$ .

$$\tag*{□}$$

Lemma 3

$$f_n\perp f_{n+1}$$

对 $n$ 用数学归纳法：

• $n=1$ 时，显然成立 .
• $n>1$ 时，要证 $\gcd(f_n,f_{n+1})=1$，只需证 $\gcd(f_n,x\cdot f_n+y\cdot f_{n-1})=1$，也就是 $\gcd(f_n,y\cdot f_{n-1})=1$，根据归纳假设有 $\gcd(f_n,f_{n-1})=1$，结合 Lemma 2 即可得到原命题 .

$$\tag*{□}$$

根据以上引理即可得到

$$\begin{aligned}\gcd(f_n,f_m)&=\gcd(f_n,y\cdot f_{m-n}f_{n-1}+f_{m-n+1}f_n)&\textbf{(Lemma 1)}\\&=\gcd(f_n,y\cdot f_{m-n}f_{n-1})\\&=\gcd(f_n,f_{m-n})&\textbf{(Lemma 2,3)}\end{aligned}$$

根据辗转相除法的结论可以得到 $\gcd(f_n,f_m)=f_{\gcd(n,m)}$ .

命题得证 .