2023.1.27 闲话

SoyTony 问我最小公倍佩尔数的 \(f_n=2f_{n-1}+f_{n-2}\) 为什么有 GCD 性质 .

下面证明一下（数学归纳法练习题

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二阶常系数齐次线性递推数列：

\[f_n=x\cdot f_{n-1}+y\cdot f_{n-2} \]

初值 \(f_0=0\)，\(f_1=1\) .

欲证明：\(x\perp y\Longrightarrow f_{\gcd(n,m)}=\gcd(f_n,f_m)\) .

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证明：

Lemma 1

\[f_{n+m}=y\cdot f_nf_{m-1}+f_{n+1}f_m \]

对 \(m\) 用数学归纳法：

• \(m=1\) 时，命题即为 \(f_{n+1}=y\cdot f_n\cdot f_0+f_{n+1}\cdot f_1\)，因为 \(f_0=0\)，\(f_1=1\) 所以显然成立 .
• \(m=2\) 时，命题即为 \(f_{n+2}=y\cdot f_n\cdot f_1+f_{n+1}\cdot f_2\)，因为 \(f_1=1\)，\(f_2=x\) 所以显然成立 .
• 当 \(m>2\) 时，根据归纳假设就有
  \[\begin{aligned}&f_{n+m-1}=y\cdot f_nf_{m-2}+f_{n+1}f_{m-1}\\&f_{n+m-2}=y\cdot f_nf_{m-3}+f_{n+1}f_{m-2}\end{aligned} \]
  上式乘 \(x\) 加下式乘 \(y\) 即得原命题 .

\[\tag*{□} \]

Lemma 2

\[f_n\perp y \]

对 \(n\) 用数学归纳法：

• \(n=1\) 时，显然成立 .
• \(n>1\) 时，因为 \(f_n=x\cdot f_{n-1}+y\cdot f_{n-2}\)，根据归纳假设及题设，\(x,f_{n-1}\) 均与 \(y\) 互质，于是 \(x\cdot f_{n-1}\perp y\)，从而
  \[f_n=x\cdot f_{n-1}+y\cdot f_{n-2}\equiv x\cdot f_{n-1}\pmod y \]
  从而 \(f_n\perp y\) .

\[\tag*{□} \]

Lemma 3

\[f_n\perp f_{n+1} \]

对 \(n\) 用数学归纳法：

• \(n=1\) 时，显然成立 .
• \(n>1\) 时，要证 \(\gcd(f_n,f_{n+1})=1\)，只需证 \(\gcd(f_n,x\cdot f_n+y\cdot f_{n-1})=1\)，也就是 \(\gcd(f_n,y\cdot f_{n-1})=1\)，根据归纳假设有 \(\gcd(f_n,f_{n-1})=1\)，结合 Lemma 2 即可得到原命题 .

\[\tag*{□} \]

根据以上引理即可得到

\[\begin{aligned}\gcd(f_n,f_m)&=\gcd(f_n,y\cdot f_{m-n}f_{n-1}+f_{m-n+1}f_n)&\textbf{(Lemma 1)}\\&=\gcd(f_n,y\cdot f_{m-n}f_{n-1})\\&=\gcd(f_n,f_{m-n})&\textbf{(Lemma 2,3)}\end{aligned} \]

根据辗转相除法的结论可以得到 \(\gcd(f_n,f_m)=f_{\gcd(n,m)}\) .

命题得证 .