2023.1.24 闲话

同态计数 加强版

求 $\mathbb F_p^k$ 中选取 $n$ 个线性无关向量的方案数，答案对 $998244353$ 取模 .

最多 $10$ 组询问，$1\le n<2^{31}$，$1\le b,k<998244353$ .

joke 不知道为啥就让我造数据，于是我就造了 5 组 .

根据经典结论可知答案就是

$$\prod_{i=0}^{n-1}(p^k-p^i)$$

对连乘分块，令块长为 $B$，$\displaystyle g(x)=\prod_{i=0}^{B-1}(p^k-x\cdot p^i)$，则有

$$\prod_{i=0}^{\lfloor\frac nB\rfloor-1}g(p^{iB})\cdot\prod_{i=\lfloor\frac nB\rfloor B}^{n-1}(p^k-p^i)$$

于是如果能求出 $g$ 的各项系数，则前面用 CZT，后面暴力即可，由于某些问题直接让 $B=\Theta(\sqrt n)$，则时间复杂度是 $\Theta(\sqrt n\log n)$ .

$g$ 可以分治 NTT 做到 $\Theta(\sqrt n\log^2n)$ 求各项系数，实际上跑得还是很快的，和 $\Theta(\sqrt n\log n)$ 差不多快 .

joke3579 说可以用付公主的背包的法做到 $\Theta(\sqrt n\log n)$，具体就是

$$\begin{aligned}\prod_{i=0}^B(1-xp^{i-k})&=\exp\sum_{i=0}^B\ln(1-xp^{i-k})\\&=\exp\sum_{i=0}^B\sum_{j\ge 1}\dfrac{(p^{i-k}x)^j}j\\&=\exp-\sum_{j\ge 1}\dfrac{x^j}{j!}\sum_{i=0}^B(p^j)^{i-k}\end{aligned}$$

可以 $\Theta(B)$ 算系数，然后 $\Theta(B\log B)$ exp 即可 .

upd. 对比 $g(x)$ 和 $g(px)$ 的系数即可 $\Theta(B)$ .

问题即为 ULR #2 哈希杀手 的最后一步 .