2023.1.21 闲话

首先祝大家新年快乐吧 .

现在发闲话也是挺极限的，反正 1.21 有闲话啦！

dottle 头像原来是 index 吗……我怎么以前一直没看出来（

推一下喝茶P的新歌 除了我大家都是笨蛋 .

看 joke3579 的转置原理发现又有「求若干次数和一定的有理分式之和」/fn

joke3579 的问题：

数列多幂次求和

给数列 $\{a_n\}$，对于 $k\in[0,n)$ 求 $\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^k$ .

答案关于 $k$ 的 OGF 就是

$$F(z)=\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{1-a_iz}$$

这是求若干次数和一定的有理分式之和，可以通过分治 NTT 在 $\Theta(\mathsf M(n)\log n)$ 时间求解 .

或者考虑直接计算分子分母的式子，原式显然等价于

$$F(z) \prod_{i = 1}^n (1 - a_iz) = \sum_{i = 1}^n \prod_{j \neq i} (1 - a_iz)$$

都可以分治 NTT，这样也是 $\Theta(\mathsf M(n)\log n)$ .

最后还得用一次求逆算出 $F(z)\bmod x^n$ 才能求答案 .

然而上面的东西都不是重点 .

---

好像分治 NTT 挺难分析复杂度，下面试分析一下：

首先考虑最平凡的问题：给一组多项式 $\{f_m\}$ 满足 $\displaystyle\sum_{i=1}^m\deg f_i=O(n)$，求 $\displaystyle\prod_{i=1}^mf_i$（那个分式求和的是这个的直接推论）.

首先考虑启发式合并，下面是 myee 给出的做法：

考虑最后一次合并

$$T(n)=T(a)+T(n-a)+\mathsf M(n)$$

若 $a<\dfrac n3$，那么分治下去 $n-a$ 的部分肯定是只有一个多项式，于是可以把原递归式改写为：

$$T(n)=T(a)+\left[a\ge\dfrac n3\right]T(n-a)+\mathsf M(n)$$

这个式子渐进意义下和原式相同 .

想一棵递归树可以得到有 $\Theta(\log n)$ 层，每层是 $\mathsf M(n)$，于是复杂度就是 $\Theta(\mathsf M(n)\log n)$ .

也不一定要这样合，在中点分治的复杂度同样是正确的 .

我口胡一波先，考虑递归树，考虑一次乘法哪边度数大算哪边贡献，于是总共乘法只有 $\Theta(\log n)$ 次的贡献，于是复杂度就是 $\Theta(\mathsf M(n)\log n)$ .

也不知道对不对，就这样吧 .