2022.12.11 鲜花

Divisor Summatory Function / DSF：

\[T(n)=\sum_{i=1}^n\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor \]

如何求一行 \(T(n)\)？考虑组合意义，对于每个 \(i\) 实际上计算了它不大于 \(n\) 的倍数个数，于是枚举这个倍数可以得到

\[T(n)=\sum_{i=1}^n\sigma_0(i) \]

另一种方式是考虑差分：

\[\begin{aligned}T(n)-T(n-1)&=\sum_{i=1}^n\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor-\sum_{i=1}^{n-1}\left\lfloor\dfrac{n-1}i\right\rfloor\\&=\sum_{i=1}^n\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{n-i}i\right\rfloor\right)\\&=\sum_{i=1}^n[i\mid n]\\&=\sigma_0(n)\end{aligned} \]

定义广义 DSF：

\[F(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor \]

如何求一行 \(F(n)\)？仍然考虑差分：

\[\begin{aligned}F(n)-F(n-1)&=\sum_{i=1}^nf(i)\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor-f(i)\sum_{i=1}^{n-1}\left\lfloor\dfrac{n-1}i\right\rfloor\\&=\sum_{i=1}^nf(i)\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac {n-i}i\right\rfloor\right)\\&=\sum_{i=1}^nf(i)[i\mid n]\\&=\sum_{d\mid n}f(d)\end{aligned} \]

这表明 \(F=\sum(f*1)(x)\delta x\) .

因为假设是要求一行所以就认为前缀和是 \(\Theta(n)\) 的，那么 Dirichlet 前缀和可以 \(\Theta(n\log\log n)\)，于是广义 DSF 求一行就可以 \(\Theta(n\log\log n)\) 解决，前提是 \(f\) 可以在不高于 \(\Theta(n\log\log n)\) 复杂度求一行 .

其实非常显然，组合意义做这个也是一样的 .

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一些示例：

Koishi 的数学题

给一个 \(n\)，令 \(\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^nx\bmod i\)，求 \(f(1\dots n)\) .

\(1\le n\le 10^7\) .

取模比较经典：

\[f(x)=\sum_{i=1}^nx\bmod i=nx-\sum_{i=1}^ni\left\lfloor\dfrac xi\right\rfloor \]

右边是广义 DSF 形式，于是可以立即得到右边就是 \(\displaystyle\sum_{i=1}^x\sigma_1(i)\) ,

线性筛求 \(\sigma_1\) 然后递推即可，时间复杂度 \(\Theta(n)\) .

Koishi 的多项式

给两个正整数 \(n,m\) 和一个 \(m\) 次多项式 \(f(x)\) .

令 \(\displaystyle g(x)=\sum_{i=1}^nf(i)(x\bmod i)\)，求 \(f(1\dots n)\)，答案对 \(998244353\) 取模 .

\(1\le n,m\le 5\times 10^4\) .

类似 Koishi 的数学题：

\[g(x)=nx\sum_{i=1}^nf(i)-\sum_{i=1}^nif(i)\left\lfloor\dfrac xi\right\rfloor \]

左边可以 \(\Theta(m\log^2 m)\) 求，也可以用神奇方法做到 \(\Theta(m\log m)\)：

神奇方法

注意到 \(nx\) 是常数不用管，于是就是要求 \(\displaystyle \sum_{i=1}^nf(i)\) .

令 \(f\) 的系数序列为 \(\{a_m\}\)，则就是要求

\[\sum_{i=0}^ma_i\sum_{j=1}^nj^i \]

可以考虑先对于每个 \(i\) 计算 \(g(i)=\displaystyle\sum_{j=1}^nj^i\) 然后 \(\Theta(m)\) 统计 .

为了方便先让下标从 \(0\) 开始：\(g(i)=\displaystyle\sum_{j=0}^nj^i\) .

写出其 EGF：

\[\begin{aligned}G(x)&=\sum_{z\ge1}\dfrac{g(z)x^z}{z!}\\&=\sum_{z\ge1}\sum_{j=0}^nj^z\dfrac{x^z}{z!}\\&=\sum_{j=0}^n\mathrm e^{jx}\\&=\dfrac{1-\mathrm e^{nx}}{1-\mathrm e^x}\end{aligned} \]

这样就可以 \(\Theta(m\log m)\) 求了 .

右边就是广义 DSF，立得右边就是

\[h(x)=\sum_{d\mid x}d\cdot f(d) \]

多点求值后就是 Dirichlet 前缀和，多点求值复杂度太高了所以 Dirichlet 前缀和基本咋写都行 .

总时间复杂度 \(\Theta(n\log^2n+m\log^2m)\) .

有可能施 Bell 级数科技可以变成单 log（？

大概就这些了 .