2022.12.11 鲜花

Divisor Summatory Function / DSF：

$$T(n)=\sum_{i=1}^n\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor$$

如何求一行 $T(n)$？考虑组合意义，对于每个 $i$ 实际上计算了它不大于 $n$ 的倍数个数，于是枚举这个倍数可以得到

$$T(n)=\sum_{i=1}^n\sigma_0(i)$$

另一种方式是考虑差分：

$$\begin{aligned}T(n)-T(n-1)&=\sum_{i=1}^n\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor-\sum_{i=1}^{n-1}\left\lfloor\dfrac{n-1}i\right\rfloor\\&=\sum_{i=1}^n\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{n-i}i\right\rfloor\right)\\&=\sum_{i=1}^n[i\mid n]\\&=\sigma_0(n)\end{aligned}$$

定义广义 DSF：

$$F(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor$$

如何求一行 $F(n)$？仍然考虑差分：

$$\begin{aligned}F(n)-F(n-1)&=\sum_{i=1}^nf(i)\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor-f(i)\sum_{i=1}^{n-1}\left\lfloor\dfrac{n-1}i\right\rfloor\\&=\sum_{i=1}^nf(i)\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac {n-i}i\right\rfloor\right)\\&=\sum_{i=1}^nf(i)[i\mid n]\\&=\sum_{d\mid n}f(d)\end{aligned}$$

这表明 $F=\sum(f*1)(x)\delta x$ .

因为假设是要求一行所以就认为前缀和是 $\Theta(n)$ 的，那么 Dirichlet 前缀和可以 $\Theta(n\log\log n)$，于是广义 DSF 求一行就可以 $\Theta(n\log\log n)$ 解决，前提是 $f$ 可以在不高于 $\Theta(n\log\log n)$ 复杂度求一行 .

其实非常显然，组合意义做这个也是一样的 .

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一些示例：

Koishi 的数学题

给一个 $n$，令 $\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^nx\bmod i$，求 $f(1\dots n)$ .

$1\le n\le 10^7$ .

取模比较经典：

$$f(x)=\sum_{i=1}^nx\bmod i=nx-\sum_{i=1}^ni\left\lfloor\dfrac xi\right\rfloor$$

右边是广义 DSF 形式，于是可以立即得到右边就是 $\displaystyle\sum_{i=1}^x\sigma_1(i)$ ,

线性筛求 $\sigma_1$ 然后递推即可，时间复杂度 $\Theta(n)$ .

Koishi 的多项式

给两个正整数 $n,m$ 和一个 $m$ 次多项式 $f(x)$ .

令 $\displaystyle g(x)=\sum_{i=1}^nf(i)(x\bmod i)$，求 $f(1\dots n)$，答案对 $998244353$ 取模 .

$1\le n,m\le 5\times 10^4$ .

类似 Koishi 的数学题：

$$g(x)=nx\sum_{i=1}^nf(i)-\sum_{i=1}^nif(i)\left\lfloor\dfrac xi\right\rfloor$$

左边可以 $\Theta(m\log^2 m)$ 求，也可以用神奇方法做到 $\Theta(m\log m)$：

神奇方法

注意到 $nx$ 是常数不用管，于是就是要求 $\displaystyle \sum_{i=1}^nf(i)$ .

令 $f$ 的系数序列为 $\{a_m\}$，则就是要求

$$\sum_{i=0}^ma_i\sum_{j=1}^nj^i$$

可以考虑先对于每个 $i$ 计算 $g(i)=\displaystyle\sum_{j=1}^nj^i$ 然后 $\Theta(m)$ 统计 .

为了方便先让下标从 $0$ 开始：$g(i)=\displaystyle\sum_{j=0}^nj^i$ .

写出其 EGF：

$$\begin{aligned}G(x)&=\sum_{z\ge1}\dfrac{g(z)x^z}{z!}\\&=\sum_{z\ge1}\sum_{j=0}^nj^z\dfrac{x^z}{z!}\\&=\sum_{j=0}^n\mathrm e^{jx}\\&=\dfrac{1-\mathrm e^{nx}}{1-\mathrm e^x}\end{aligned}$$

这样就可以 $\Theta(m\log m)$ 求了 .

右边就是广义 DSF，立得右边就是

$$h(x)=\sum_{d\mid x}d\cdot f(d)$$

多点求值后就是 Dirichlet 前缀和，多点求值复杂度太高了所以 Dirichlet 前缀和基本咋写都行 .

总时间复杂度 $\Theta(n\log^2n+m\log^2m)$ .

有可能施 Bell 级数科技可以变成单 log（？

大概就这些了 .