2022.12.10

今天又是抄的 joke3579 闲话 .

蓝桥杯 2021 国 A 积木

小蓝有大量正方体的积木（所有积木完全相同），他准备用积木搭一个巨大的图形 .

小蓝将积木全部平铺在地面上，而不垒起来，以便更稳定。他将积木摆成一行一行的，每行的左边对齐，共 $n$ 行，形成最终的图形 .

第一行小蓝摆了 $H_{1}=w$ 块积木。从第二行开始，第 $i$ 行的积木数量 $H_{i}$ 都 至少比上一行多 $L$，至多比上一行多 $R$ (当 $L=0$ 时表示可以和上一行的积木数量相同)，即

$$H_{i-1}+L \leq H_{i} \leq H_{i-1}+R_{\circ}$$

给定 $x, y$ 和 $z$, 请问满足以上条件的方案中，有多少种方案满足第 $y$ 行的积木数量恰好为第 $x$ 行的积木数量的 $z$ 倍 .

$1 \leq n \leq 5\times10^5$，$1 \leq w \leq 10^{9}$，$0 \leq L \leq R \leq 40$，$1 \leq x<y \leq n$，$0 \leq z \leq 10^{9}$ .

答案可以分成 $1\dots x-1$，$x\dots y$，$y+1\dots n$ 三部分 .

$y+1\dots n$ 的贡献是 $(R-L+1)^{n-y}$，后面计算 $1\dots y$ 部分 .

根据组合意义，选一次的 OGF 即为 $\displaystyle f(c)=\sum_{i=L}^Rc^i$ .

于是答案为：

$$\sum_{k\ge 0}[c^k]f^x(c)[c^{z(w+(x-1)L+k)-w-k-(y-1)L}]f^{y-x}(c)$$

其中求和因子 $k$ 表示偏移后 $x$ 行的方块个数，$z(w+(x-1)L+k)-w-k-(y-1)L$ 则为偏移后 $y$ 行的方块个数 .

关于「偏移」的详细解释见 joke3579 闲话 .

这样有值的 $k$ 只有 $\Theta(n(R-L))$ 个，枚举求即可 .

现在问题变成求一行的 $f^m(c)$ .

这个完全等价于求 $\left(\dfrac{1-c^n}{1-c}\right)^m$，朴素实现是 $\Theta(n\log n)$ 的，然而此处的 $n$ 的范围是原题记号下 $n(R-L)$ 级别的，无法通过 .

注意到 $f^m$ 是 D-finite 的，这表明可以找到一个整式递推来描述它 .

具体的，考察

$$\begin{aligned}\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dc}f(c)&=m\left(\dfrac{1-c^n}{(1-c)^2}-\dfrac{nc^{n-1}}{1-c}\right)\left(\dfrac{1-c^n}{1-c}\right)^{m-1}\\&=m\left(\dfrac{1-c^n}{(1-c)^2}-\dfrac{nc^{n-1}}{1-c}\right)\left(\dfrac{1-c}{1-c^n}\right)f(c)\end{aligned}$$

左右提取 $c^k$ 项系数即可得到递推式，直接暴力递推即可，总时间复杂度 $\Theta(n(R-L))$ .

我写了一个 85pts 的暴力 NTT 代码，joke3579 实现了 100pts 的线性递推 .