2022.12.4 闲话

操作独立数据结构题的一些套路：

操作分为修改，查询 .

操作独立：如果段内没有查询，则乱序排列修改后结果不变 .

允许离线 / 强制在线：略 .

一些策略：

• 时间分治（时间分块 / 二分时间 / CDQ 分治）
• 二进制分组
• 整体二分

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大概是二分时间的一道题：

共点圆

维护一个平面，支持：

• 给一个点，加一个圆心位于该点且过原点的圆 .
• 给一个点，查询这个点是否在所有圆的内部 .

为了方便，保证所有点都在 $x$ 轴上方且横坐标非 $0$ .

根据观察可以发现，一个点 $(x,y)$ 位于以 $(x_0,y_0)$ 为圆心且过原点的圆内当且仅当 $(x,y)$ 位于半平面 $2x_0x+2y_0y\ge x_0^2+y_0^2$ 内 .

于是问题可以变成加点，查所有点是否都在给定半平面内 .

显然操作独立，于是对时间二分一下， 就变成没有修改的问题了 .

显然凸包上二分一下就 2log 了 .

凸包斜率排序，合并时归并即可 1log .

若静态问题可以在 $f(n)$ 时间内解决，则操作独立，允许离线的动态问题采用对时间二分的策略时间复杂度仅多一个 log，具体的，时间复杂度为

$$T(n)=2T\left(\dfrac n2\right)+f(n)$$

解出来就是 $T(n)=O(f(n)\log n)$，一般都是对的 .

CDQ 分治也是一样的，比如：

半平面交

维护半平面集合，支持：

• 加一个半平面 .
• 删一个半平面 .
• 查一个点是否在它们的交内 .

CDQ 分治，只需要处理前面的删除对后面的影响 .

这个就只需要维护一个删半平面和查询的数据结构即可 .

时间倒流就变成加半平面然后查 .

这个时间分治即可 .

经过若干套娃之后我们就得到一个 3log 的诡异做法 . 也可以类似做到 2log，略 .

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时间分块的话有点邪门，链个 joke3579：操作分块 .

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二进制分组

这个似乎是 well-known 技术了，简要说一下 .

比如要维护一个集合支持一些东西，不过静态很平凡，咋做呢 .

考虑初始维护一个只有一个元素的集合，加一个元素就把它对应的集合扔到末尾，如果最后两个集合大小相同就暴力合并 .

显然根据一些均摊分析，只贡献一个 log，而且是在线的 .

不均摊的话也可以爆算，不过不太优美：

设建立静态数据结构的时间复杂度是 $f(n)$，询问是 $g(n)$ .

则暴力重构的总时间复杂度就是

$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^nf(\operatorname{lowbit}(k))&=\sum_{i=1}^{\lfloor\log n\rfloor}\left\lfloor\dfrac n{2^{i+1}}+0.5\right\rfloor f(2^i)\\&\le\sum_{i=1}^{\lfloor\log n\rfloor}f(n)\\&=\Theta(f(n)\log n)\end{aligned}$$

这样重构的时间复杂度就是 $O(f(n)\log n)$ .

自然想到能否 $k$ 进制分组 .

具体描述一下，其实就是二进制分组直接扩展：考虑初始维护一个只有一个元素的集合，加一个元素就把它对应的集合扔到末尾，如果最后 $k$ 个集合大小相同就暴力合并 .

类似 $k$ 叉树状数组，其实就是把修改和查询的复杂度改了一下，渐进还是 1log .

具体分析可以魔改一下上面那个爆算做法 .

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整体二分

加一个 log 实现全局二分 .

不说了，因为我不太会 .