2022.11.21 闲话

辗转相除法 / 欧几里得算法：

给两个数，求 \(\gcd(a,b)\) .

过程：

• 若 \(b=0\)，返回 \(a\) .
• 否则，返回 \(\gcd(b,a\bmod b)\)（递归计算）.

优化：Binary GCD 或者叫 Stein GCD .

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时间复杂度分析：

取 Fibonacci 相邻两项得到单次最劣时间复杂度 \(\Theta(\log n)\)，\(n\) 是值域 .

求多个数的 GCD 可以势能分析，每个均摊 \(\Theta(1)\)，也就是 \(k\) 个数 GCD 的时间复杂度是 \(\Theta(k+\log n)\) .

具体的就是考虑每个数被模一次至少减半，减半最多 \(\log n\) 次，然后就差不多完了 .

然而也只有均摊出来才是 \(\Theta(1)\) 的了吧，Knuth 指出若 \(a,b\) 均匀随机于 \([1,n]\)，则辗转相除计算 \(\gcd(a,b)\) 的期望步数为 \(\dfrac{12\ln2}{\pi^2}\ln n+O(1)\)，那个 \(O(1)\) 的常数大约为 \(0.06\) .

更相减损：最坏 \(\Theta(n)\)，取 \(n\) 和 \(1\) 即可卡满 .