2022.11.21 闲话

辗转相除法 / 欧几里得算法：

给两个数，求 $\gcd(a,b)$ .

过程：

• 若 $b=0$，返回 $a$ .
• 否则，返回 $\gcd(b,a\bmod b)$（递归计算）.

优化：Binary GCD 或者叫 Stein GCD .

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时间复杂度分析：

取 Fibonacci 相邻两项得到单次最劣时间复杂度 $\Theta(\log n)$，$n$ 是值域 .

求多个数的 GCD 可以势能分析，每个均摊 $\Theta(1)$，也就是 $k$ 个数 GCD 的时间复杂度是 $\Theta(k+\log n)$ .

具体的就是考虑每个数被模一次至少减半，减半最多 $\log n$ 次，然后就差不多完了 .

然而也只有均摊出来才是 $\Theta(1)$ 的了吧，Knuth 指出若 $a,b$ 均匀随机于 $[1,n]$，则辗转相除计算 $\gcd(a,b)$ 的期望步数为 $\dfrac{12\ln2}{\pi^2}\ln n+O(1)$，那个 $O(1)$ 的常数大约为 $0.06$ .

更相减损：最坏 $\Theta(n)$，取 $n$ 和 $1$ 即可卡满 .