2022.11.19 鲜花

SoyTony 给我一道题：

（约定：$f^k(x)=f(x)^k$）

LOJ528 「LibreOJ β Round #4」求和

求

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\mu^2(\gcd(i,j))$$

$1\le n,m\le 10^7$ .

数据范围是我编的，我其实并不知道 LOJ 上数据范围到底是多少 .

首先不妨令 $n\le m$，根据经典莫反套路可以得到答案其实就是

$$\sum_{i=1}^n\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\left\lfloor\dfrac mi\right\rfloor(\mu*\mu^2)(i)$$

然后整除分块，问题变成如何快速求 $\mu*\mu^2$ .

Algorithm 1（时空复杂度 $\Theta(n)$）

注意到 $\mu*\mu^2$ 是积性函数，于是线性筛即可 $\Theta(n)$ .

Algorithm 2（时空复杂度 $\Theta(\sqrt n)$）

SoyTony 是大智者

首先要求的就是

$$\sum_{d\mid n}\mu(d)\mu^2\left(\dfrac nd\right)$$

注意到 $n$ 只能形如 $p^2q$，其中 $p\perp q$，否则答案必然是 $0$ .

于是显然 $p^2$ 分别给两个 $\mu$ 否则没有贡献，于是答案就变成

$$\sum_{d\mid q}\mu(pd)\mu^2\left(\dfrac{pq}d\right)$$

因为 $\mu^2$ 显然是完全积性函数，而 $p\perp d$，于是可以拆开变成

$$\mu^3(p)\sum_{d\mid q}\mu(d)\mu^2\left(\dfrac qd\right)$$

然而 $\mu^3$ 就是 $\mu$，右边 $\mu^2\left(\dfrac qd\right)$ 因为 $\dfrac qd$ 是 square-free 的所以必然等于 $1$，于是又可以变成

$$\mu(p)\sum_{d\mid q}\mu(d)$$

这样这个求和就是一个非常平凡的莫反 $\mu*1=\varepsilon$ .

则答案就是 $\mu(p)[q=1]$ .

如果 $q=1$ 则必然 $n=p^2$，于是答案也可以转写为 $\mu(\sqrt n)[\sqrt n\in\Z]$ .

这样做一个根号值域的线性筛 $\mu$ 即可 . 时空复杂度 $\Theta(n)$ .

Algorithm 3（时空复杂度 $\Theta(\sqrt n)$）

SoyTony 曾言道：“有没有什么组合意义做法。”

考虑 $\mu^2*\mu$ 其实就是 $\mu^2$ 的 Dirichlet 卷积逆，也就是我们要找到一个函数 $f$，使得 $f*1=\mu^2$ .

然后接下来的步骤我发现其实就是 Algorithm 4 的神奇公式 $\displaystyle\mu^2(x)=\sum_{d^2|x}\mu(d)$ .

然后这样也能得到 $(\mu*\mu^2)(n)$ 是 $\mu(\sqrt n)[\sqrt n\in\Z]$，后面同 Algorithm 2 .

Algorithm 4（时空复杂度 $\Theta(\sqrt n)$）

有神奇公式 $\displaystyle\mu^2(x)=\sum_{d^2|x}\mu(d)$，证明略 .

于是直接从原题入手，

$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\mu^2(\gcd(i,j))&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d^2|\gcd(i,j)}\mu(d)\\&=\sum_{d=1}^{\sqrt n}\left\lfloor\dfrac n{d^2}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac m{d^2}\right\rfloor\mu(d)\end{aligned}$$

那么直接线性筛算就好了，时空复杂度仍然是 $\Theta(\sqrt n)$ .