2022.11.15 闲话

看到有些人手动循环展开，其实可以用预处理器直接循环展开 .

具体就是 #pragma unroll <num>，用法详见百度 .

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今天的闲话主题是 BFS，真是越来越水了，回想一下第一篇闲话 Divisor Summatory Function 预处理优于 $\Theta(n)$ 的那两个解法还挺有价值的，现在这个 BFS 都成 CSP-J 难度内容了 .

而且昨天 joke3579 写了个图论专题，全方面吊打我啊 .

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APJ 指出题目名最好不要和 APJ 有关

给 $n$ 个长度为 $m$ 的 01 串，需要构造一个长度相同的 01 串，最大化该串和给出的串中不同位数之和 .

$1\le n\le 10^6$，$1\le m\le 10$ .

建一个有 $2^m$ 个点的图，每个点都与和自身只有一位不同的点连一条长度为 $1$ 的边，然后 BFS 跑最长路即可 .

时间复杂度 $\Theta(n+2^m)$ .

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ARC084B Small Multiple

令 $f(x)$ 表示十进制下 $x$ 的数位之和，给一个正整数 $k$，求使得 $f(x)$ 最小的 $k\mid x$，只需输出 $f(x)$ .

$2\le k\le 10^5$ .

考虑所有正整数数都可以从 $1$ 开始进行有限次乘 $10$ 或者加 $1$ 完成 .

要维护的是数位和，则一次乘 $10$ 贡献 $0$，一次加 $1$ 贡献 $1$ .

于是每个正整数当成一个点，乘 $10$ 连边权为 $0$ 的边，加一为边权为 $1$ 的边，这样问题变成了最短路（合法性：显然因为最短路的最短性所以不能用 $10$ 个加一顶替一个乘 $10$）.

还有一个 $k$ 的倍数的限制没管，观察可以发现把每个数都模 $k$，然后算一下 $1$ 到 $0$ 的最短路即可，这样其实点数就变成 $k$ 了 .

于是可以 01BFS，时间复杂度是 $\Theta(k)$ 的 .

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ARC151E Keep Being Substring

给一个序列 $\{a_n\}$ 和它的两个子串 $\{x\},\{y\}$，每次可以在 $\{x\}$ 的开头或末尾加或删一个数字，并且要满足任意时刻 $\{x\}$ 为 $\{a\}$ 的非空子串，求把 $\{x\}$ 变成 $\{y\}$ 的最少次数。

$1\le n\le 2\times 10^5$ .

找到 $\{x\}$ 和 $\{y\}$ 的最长公共子串 $\{S\}$，若 $\{S\}$ 非空那么答案显然就是 $p+q-2|S|$，就是将 $\{x\}$ 先删到 $\{S\}$ 再加回来 .

若 $\{S\}$ 为空，贪心地考虑，则一定是把 $\{x\}$ 删成只剩一个数然后用一些操作让它变成 $\{y\}$ 的子串然后加回去 .

考虑对于所有 $i$，连边 $a_i\leftrightarrow a_{i+1}$，则问题变成 在 $\{x\}$ 和 $\{y\}$ 中分别选两个点 $u,v$，使它们之间的最短路最小，这个多源 01BFS 即可 .

做完了，时间复杂度 $\Theta(n)$ .

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我是仙人掌

给一个无向图，每次查询的时候给一堆二元组 $(x_i,y_i)$ .

求图中有多少个点 $u$ 与至少一个这次询问给出的二元组 $(x_i,y_i)$ 满足 $\operatorname{dist}(u,x_i)\leq y_i$，$\operatorname{dist}$ 表示这两个点在图中的距离 .

如果不连通 $\mathrm{dist} = +\infty$ .

$1\leq n\leq 1000$，$1\leq m,q \leq 10^5$，$\sum a\leq2.1\times 10^6$ .

这题其实有点搞笑，和 BFS 没太大关系 .

首先 $n$ 遍 BFS 求出全源最短路 .

然后我们就可以算出从每个点 $i$ 出发，最短路恰好为 $j$ 的点的集合，前缀或一遍就可以得到不大于 $j$ 的集合（用 std :: bitset 存一下）.

询问的时候直接 bitset 暴力并一下即可，时间复杂度 $\displaystyle \Theta\left(n^2+nm+\left(n^3+n\sum a\right)/w\right)$