2022.11.14 闲话

一直很疑惑上次 APJifengc 怎么在我发完闲话后瞬间就评论了，难道在我后面装了个摄像头吗

都快忘了放 Keven_He 推的歌了，赶快放上：

破云来

筠雾暝 冷清
灯火中不知倦的影
竹叶落 幽寂
却似乱风流云
或你我执迷
枯坐星沉月闭
求而不得 一暝
无善无恶心之体
有善有恶意之动
知善知恶是良知
为善去恶是格物
人说长空浩荡偕来
云中送此君
却在万山丛中采蕨
刹那悟此心
有花不视同 归寂
灵台万物一
拨云破月来
阴阳始分明
交迫 荒落
【沉默在天际的远壑】
寥廓 四合
【惊醒了先贤的旧说】
心外无物亦成说
【走出那好一个从容的洒脱】
息风 引火
【余烬里飞灰的煊赫】
浮云 止戈
【风止后又归安邦护国】
一朝看破
【俯仰自无愧怍】
筠雾暝 冷清
灯火中不知倦的影
霜叶凝 沉寂
都成浮生往忆
往者太执迷
云破月来分明
了然于心 一息
无善无恶心之体
有善有恶意之动
知善知恶是良知
为善去恶是格物
人说长空浩荡偕来
云中送此君
却在万山丛中采蕨
刹那悟此心
有花不视同 归寂
灵台万物一
拨云破月来
阴阳始分明
洒脱 磊落
【踏歌来人心本为乐】
云丛 轻拨
【又何必妄欲自缚锁】
心外无物亦成说
【走出那好一个从容的洒脱】
返躬 省我
【夜来时独守的明德】
此心 澄澈
【云开后仍是皎洁月色】
又复何说
【俯仰自无愧怍】
雾凝烟轻 此身云中之灵
霞落尘清 有何不可知意
一张一翕 万象动静于心
不破不立 合掌知行为一
无挂无羁 良知岂能自欺
无偏无倚 乃道此心光明
人说正心诚意致知
格物才明理
却道禀守慎独良知
方能正我心
天地本与我为一
知行此中意
拨云破月来
阴阳始分明
来客 对坐
垂云 落墨
立身立德终成说
此心 求索
可或 不可
云天开阔

以前有过一个 SUM 问题的闲话 7.19 .

以下 \(V\) 是值域 .

看一个普通 3SUM：

3-SUM Multi-Counting

给一个序列 \(\{a_n\}\)，对于每个 \(s\in[1,m]\)，问有多少对 \((i,j,k)\)（\(1\le i,j,k\le n\)）使得 \(a_i+a_j+a_k=s\)，对 \(998244353\) 取模 .

这个大家肯定都能一眼秒掉 .

令 \(\displaystyle F(z)=\sum_{k\ge 0}t_k\)，则对于一个 \(s\)，答案为 \([z^s]F^3\) .

这样就是 \(\Theta(V\log V)\) 的 .

3-SUM Multi-Counting [Inc Version]

给一个序列 \(\{a_n\}\)，对于每个 \(s\in[1,m]\)，问有多少对 \((i,j,k)\)（\(1\le i<j<k\le n\)）使得 \(a_i+a_j+a_k=s\)，对 \(998244353\) 取模 .

这个 Inc Version 有什么区别呢？其实就是约束从 \(1\le i,j,k\le n\) 变成了 \(1\le i<j<k\le n\) .

定了个序，题目也没难多少 .

令 \(\displaystyle F(z)=\sum_{k\ge 0}z^kt_k\)，现在直接 \(F^3(z)\) 会重，考虑容斥 .

令 \(\displaystyle F_c(z)=\sum_{k\ge 0}z^{ck}t_k\)，于是 \(F(z)=F_1(z)\) .

令 \(A(z)=\dfrac16(F^3(z)-3F_2(x)F(x)+F_3(z))\)，则显然 \([z^s]A(z)\) 即为答案 .

这样同样是 \(\Theta(V\log V)\) .

这样显然我们能想到一个问题是更高维 SUM 的 Inc Version 能不能做 .

其实根据一些观察，是可以发现 \(k\)-SUM Multi-Counting [Inc Version] 问题是可以 \(\Theta(kV\log V)\) 解决的，可能需要 \(\Theta(V)\) 空间，具体方法从略 .

这个 \(k\)-SUM Multi-Counting [Inc Version] 问题也就 押してだめなら谛めろ 吧，我也是口胡的，joke3579 应该一眼能秒了这题 .