2022.10.20 闲话

没啥可写的了啊，放一个水题吧：

ABC254D Together Square

给整数 $n$，求有多少 $1\le i,j\le n$ 使得 $ij$ 是完全平方数 .

令 $f(i)$ 是 $i$ 的最大平方因子 .

然后 $ij$ 是完全平方数 iff $\dfrac{ij}{f(i)f(j)}$ 是完全平方数 .

然而形如 $\dfrac i{f(i)}$ 的数是 square-free 的，于是原命题又 iff $\dfrac i{f(i)}=\dfrac j{f(j)}$ .

于是调和级数算 $f$，然后开个桶统计答案即可 . 时间复杂度就是 $\Theta(n\log n)$ 的 .

能不能再给力一点啊？其实真的是可以的，$\Theta(n)$ 解法 和 $\Theta(\sqrt n)$ 解法 甚至都是存在的 .

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一个问题：查询第 $n$ 个只有 $2,3,5,7$ 因子的数 .

我们就可以整一个堆，一开始放进去 $1$ .

然后每次弹堆顶，将堆顶的数与 $2,3,5,7$ 中不小于其最大质因子的数的乘积（可能有多个）加入堆 .

等弹了 $n$ 个以后就得到答案了 .

这个 Trick 好像叫堆内增量式更新？