2022.10.19 闲话

正文：

统计一下，各位写闲话的目的是什么？

发现一个事情，只要闲话里有 gtm1514 子串就会获得一条评论和一个踩 .

今天试试不推流怎么样 .

开网挺好，不过从 cloud.lilywhite.cc 下了个 th14.3 结果提示找不到 d3dx9_43.dll /px

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附录：

其实我意识到咕咕咕太久了没人看我闲话 .

joke3579 这种日更博主就显然会吸引很多观众，当然他有没有线下引流我就不知道了 qwq

其实我觉得有没有 TOC 都一样 .

我以前都是用 TOC 的，所以这次就不用了 .

目录

• 从三个角度看莫比乌斯反演
  • 老生常谈
  • 反演角度
  • 容斥角度

从三个角度看莫比乌斯反演

老生常谈

也就是 $\displaystyle[n=1]=\sum_{d\mid n}\mu(d)$ .

既然老生常谈了我这里也不想再谈一遍了 .

放一个可能趣味的题

$$\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)^{\operatorname{lcm}(i,j)}$$

最多 $1000$ 组询问，$n,m\le 10^6$ .

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思考：

如果想要出神奇的数论函数求和题，可能有两条路：

1. 不用莫反 .
2. 不用整除分块 .

1 的话很多人出过了，基本都是人类智慧多一点，我肯定是不会的 . 2 感觉根本没有人想过啊！其实我已经有一道这样的题了，具体可以问一下 artalter（不过 artalter 的那个做法我没听懂

不过我那个题可能质量比较低，不知道能不能起到抛砖引玉的作用 . upd. 不能，纯纯的 classical .

其实 2 的话 DSF 就是一个很好的例子，可以看我第一篇闲话 .

反演角度

思考：

众所周知莫比乌斯反演有两种形式：

$$f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)\iff g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)g\left(\dfrac nd\right)$$

$$f(n)=\sum_{n\mid d}g(d)\iff g(n)=\sum_{n\mid d}\mu\left(\dfrac dn\right)f(d)$$

大家做题的时候是不是只用过第一种呢？那么第二种到底有啥用啊？

很振奋人心的是已经有用这个的题了 .

GCD Counting

一棵 $n$ 个点的有点权树，问对于每个 $k$，有多少条链使得其点权 GCD 等于 $k$ .

$1\le n\le 2\times 10^5$ .

上树还是上的很巧妙的 .

首先令 $f(x)$ 表示当前有多少链的点权 GCD 等于 $x$，$g(x)$ 表示当前有多少链的点权 GCD 是 $x$ 的倍数，然后就有

$$g(n)=\sum_{n\mid d}f(d)$$

这就是莫比乌斯反演的第二种形式，于是

$$f(n)=\sum_{n\mid d}\mu\left(\dfrac dn\right)g(d)$$

那么问题就变成算 $g$ 了 .

这个因为因子个数是根号级别的所以暴力就可以过了，具体不多说因为不是重点 . 具体可以看官方题解 .

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这道题大概给我们展示了莫比乌斯反演真正作为反演而不是 $\displaystyle[n=1]=\sum_{d\mid n}\mu(d)$ 的一个应用 .

是否能通过这个 Trick 出更有趣的题呢？先排进日程，过后再想吧 .

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Bonus？

同样的，二项式反演也有两种形式：

$$f(n)=\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}g(i)\iff g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\dbinom{n}{i}f(i)$$

$$f(n)=\sum_{i=n}^m\dbinom{i}{n}g(i)\iff g(n)=\sum_{i=n}^m(-1)^{i-n}\dbinom{i}{n}f(i)$$

我见到的二项式反演题都是用第二种的 . 那么第一种到底有什么用呢？

目前还待研究 .

容斥角度

放一个神奇的题

问在 $1$ 到 $n$ 中有多少个数可以表示为

$$t=x^y$$

的形式，其中 $x\ge 1,y\ge 2$ .

$n\le 10^{18}$

对于对于一个 $y$，存在 $\sqrt[y]n$ 个 $x$ 满足条件（显然有 $y\le \log_2 (10^{18})$，即 $y\le 64$）.

注意到一个数可能被多次表示，于是容斥一下，根据人类智慧可以发现容斥系数其实就是 $\mu$ .

于是答案即为：

$$\sum_{i=2}^{64}-\mu(i)\sqrt[i]n$$

暴力求即可 .

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感觉这个 Trick 我是不可能掌握了 TAT .

把你给 MIKUMIKU 掉

《みくみくにしてあげる♪》

科学の限界を超えて私は来たんだよ
超越科学的极限　我已经来了唷

ネギはついてないけど出来れば欲しいな
虽然没带着葱　可以的话还真想要呢

あのね、早くパソコンに入れてよ
呐，快一点　快安装进个人电脑里吧

どうしたの?
怎么了呢?

パッケージずっと见つめてる
怎么一直在看包装啊

君のこと
你也

みくみくにしてあげる
一起来 MIKUMIKU 吧

歌はまだね、顽张るから
唱歌的话，还要再全力以赴

みくみくにしてあげる
一起来 MIKUMIKU 吧

だからちょっと覚悟をしててよね
所以要有点心理准备唷

（してあげるから）
（快一起来吧）

みくみくにしてやんよ
一起来 MIKUMIKU 吧

最後までね、顽张るから
到了最后、也要继续努力

みくみくにしてやんよ
一起来 MIKUMIKU 吧

だからちょっと油断をしてあげて
也会稍微有些粗心大意

みくみくにしてあげる
一起来 MIKUMIKU 吧

世界中の谁、谁より
是这个世界中的谁、是谁呢

みくみくにしてあげる
一起来 MIKUMIKU 吧

だからもっと私に歌わせてね
所以让我唱更多歌吧