2022.10.2 闲话

线段树维护信息的一些描述方法 .

也就是所谓的「直接线段树」，不加转换，直接暴力维护 .

我见的题比较少所以就不多放了 .

搞笑图：

置换

其实置换和矩阵本质上是等价的，置换就可以看作是向量 .

CF911G Mass Change Queries

给一个序列 $\{a_n\}$，$q$ 次操作，每次给四个整数 $l,r,x,y$，表示将区间 $[l,r]$ 中等于 $x$ 的数改成 $y$ . 输出 $q$ 步操作完的数列 .

$1\le n,q\le 2\times 10^5$，任意时刻序列中最大值不大于 $100$，不小于 $1$ .

未来日记

对每个点维护一个置换（实际上也不太算置换，因为是可重的，大概就是维护序列 $\{p\}$ 表示原来的 $x$ 经过一波操作之后变成了 $p_x$），然后这个操作就是区间复合上一个置换 .

线段树维护即可，时间复杂度 $O(qL\log n)$，$L$ 是值域 .

要稍微精细实现一下 .

线段树 7

有一个骰子，四个操作 UDLR，表示向某个方向滚一下 .

维护一个操作序列，$q$ 次操作，支持：

• change x y，将第 $x$ 个操作改成 $y$ .
• query l r，询问初始的骰子按顺序经过 $[l,r]$ 的所有操作后最上面的面是什么 .

$1\le n,q\le 2\times 10^5$ .

可以用一个二元组表示横轴和纵轴的贡献，这样就可以朴素合并了，问题也就解决了 .

一个看起来比较巧妙的方法是用复数表示状态 .

时间复杂度 $O(q\log n)$ .

也可以说是维护了一个置换吧 .

SHOI2010 滚动的正四面体

一个正四面体，有三个方向 LRB 可以滚，每次滚就是一次操作 .

初始正四面体的 X 面朝向地面 .

维护一个操作序列，$q$ 次操作，支持：

• change x y，将第 $x$ 个操作改成 $y$ .
• query l r，询问初始的正四面体按顺序经过 $[l,r]$ 的所有操作后 X 面有多少时刻朝向地面 .

$1\le n\le 6\times 10^4$，$1\le q\le 1.5\times 10^5$ .

和线段树 7 是一样的，维护一下 $f(l,r)$ 表示初始的正四面体按顺序经过 $[l,r]$ 的所有操作后哪面朝下，然后再维护 $s(l,r)$ 表示初始的正四面体按顺序经过 $[l,r]$ 的所有操作后 X 面有多少时刻朝向地面即可 .

时间复杂度 $O(q\log n)$ .

矩阵 / DDP

如果转移是常系数齐次线性递推，那么就可以矩阵快速幂优化 .

不齐次其实也行，不过比较麻烦 .

高端题可以看 Miracle 的博客 .

CF1252K Addition Robot

给出一个长度为 $n$，只含有大写字母 $\tt A$ 和 $\tt B$ 的字符串 $S=S_1S_2S_3...S_n$，定义如下函数 $f(L,R,A,B)$：

function f(L, R, A, B):
	FOR i from L to R
		if S[i] = 'A'
			A = A + B
		else
			B = A + B
	return (A, B)

给出初始字符串 $S$，$q$ 次操作：

• 1 L R：将 $S_L,S_{L+1},...,S_{R-1},S_r$ 取反（A 变为 B，B 变为 A） .
• 2 L R A B：输出函数调用 $f(L,R,A,B)$ 的结果，对 $10^9+7$ 取模 .

$1\le n,q\le 10^5$ .

这种板子大水题不用多说吧 /hsh

$A=A+B$，$B=A+B$ 可以用矩阵来描述：$A,B$ 翻转可以直接交换矩阵中的元素 .

然后就没啥了吧，时间复杂度 $\Theta(q\log n)$ .

Luogu P7706 文文的摄影布置

题面 .

维护 $A,B$ 的区间 max，区间内 $|A_i-B_j|$ 其中 $i\ne j$ 的 min 即可 .

思路和 GSS1 / GSS3 差不多 .

时间复杂度 $\Theta(q\log n)$ .

Segment Tree Beats!

题面 .

用广义矩阵维护一下就好了，具体不想说了，看 wangrx 的题解 .

时间复杂度 $O(q\log^2 n)$ .

多项式

CF407C Curious Array

Luogu P1438 无聊的数列

General (Static)

给一个序列 $\{a_n\}$，有一个固定的 $k$ 次多项式 $f(z)$ .

$q$ 次操作，每次给两个整数 $l,r$，表示对于每个 $l\le i\le r$，让 $a_i\gets a_i+f(i-l+1)$ .

所有操作结束后，输出最后的序列 $\{a\}$ .

如果值域比较小可以维护置换，类似 CF911G .

否则就 $k$ 次差分，然后朴素线段树维护，最后 $k$ 次前缀和回来 .

时间复杂度 $O(qk^{o(1)}\log n)$ .

一般也就是用 $k$ 比较小的情形，所以这边就不分析到最细了 .

General (Dynamic)

维护一个序列 $\{a_n\}$，有一个固定的 $k$ 次多项式 $f(z)$ .

$q$ 次操作：

• change l r，表示对于每个 $l\le i\le r$，让 $a_i\gets a_i+f(i-l+1)$ .
• query l r，求 $\displaystyle\sum_{i=l}^ra_i$，也就是区间和 .

感觉不太能做，大概就是维护多项式系数吧 .

时间复杂度 $O(qk^{o(1)}\log n)$ .