2022.10.1 闲话

放个歌词，好像是 RE0 的，然而我没看过 RE0 .

国庆不放假赞！

あなたの知らないこと

あなたには わたしが見(み)えない
你一直都没有注意到我

こんなにも 近(ちか)くにいるのに
明明我就在你近在咫尺的地方

重(かさ)ねたその手(て)のひらも
在彼此重叠的手掌里

かじかむ心(こころ)に触(ふ)れはしない
不愿去触碰憔悴的心

雪(ゆき)の中(なか)で一人(ひとり)凍(こご)える
独自冰封在大雪之中

心(こころ)はただ壊(こわ)れるほどに
犹如心灵都被你破坏一般

あなたを探(さが)した
我不断寻找着你

全部(ぜんぶ)愛(あい)している
我深爱着你的一切

あなたに奪(うば)われた
就算会被你夺走

こころ からだ あしたさえ
我的心灵 还是我的身体 又或者是我的明天

他(ほか)のなにもかも
还是其他的什么

わたしを差(さ)し出(だ)したっていい
就算不过是在使唤我也没关系

だから あなたが欲(ほ)しい
所以 我只要得到你就好

あなたには きっとわからない
对你来说 一定对此一无所知

わたしには あなたしかいない
对我来说 我就只剩下你了

偽(いつわ)りの御伽(おとぎ)噺(ばなし)
就算是虚假的童话

カラカラと回(まわ)る胸(むね)が軋(きし)む
空空如也的旋转 在心中吱嘎作响

観客(かんきゃく)さえいない舞台(ぶたい)で
在那连观众都没有的舞台上

あなたはまだ踊(おど)り続(つづ)ける
你仍还在坚持着你的舞蹈

悲(かな)しい顔(かお)して
露出悲伤的脸庞

全部(ぜんぶ)愛(あい)している
我深爱着你的一切

わたしに奪(うば)わせて
请让我夺走吧

救(すく)いのない物語(ものがたり)
连救赎都称不上的故事

ほんのひと時(とき)でいい
真的只是一小会就好

わたしだけをちゃんと見(み)て
能请你好好的注视着我一人

それが願(ねが)いだから
就算只能成为我的愿望

何回(なんかい)も 触(ふ)れてなお
一次又一次 想去触碰你

この想(おも)いは
这份感情

あなたには伝(つた)わりもしない
我却无法传达给你

けど人(ひと)は変(かわ)ってゆける
但人都是可以去改变的

だから怖(こわ)くはないよ
所以 我不会再害怕

どんなに 呪(のろ)われた
无论这是被诅咒

定(さだ)めでも 伝(つた)えたい
还是命中注定 我都会传达给你

全部(ぜんぶ)愛(あい)している
我深爱着你的一切

傷跡(きずあと)も悲(かな)しみも
无论是伤痕还是悲伤

どんな罪(つみ)も 過(あやま)ちも
无论将犯下多大的罪过 多大的过错

わたしの全(すべ)てなら
若我的一切就可以的话

奪(うば)い去(さ)られたままで
就这样给你夺走就好

いまも あなたのもの
从现在起 我就是属于你的物品

だから 隣(となり)にいて
所以 请让我留在你身边

上瘾了，再来个 CSP-J 模拟 .

大致在 CCF 大纲里，题目大致按难度排序 .

这次是 ABCD 四题了 .

同样的，未特殊说明则时间限制 1s，空间限制 512 MiB，不保证全为原创，不保证全为非原创 .

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A. Harmonic Rice

有一个序列 \(\{w_n\}\) .

定义两个序列 \(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\) 的联合权值为

\[\operatorname{unval}(a,b)=\sum_{i=1}^nw_i\cdot b_i(b_i-a_i) \]

如果一个序列 \(\{a_n\}\) 满足对于所有 \(i\mid j\) 均有 \(a_i<a_j\)，则称 \(\{a\}\) 是 trival 的 .

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现给定一个序列 \(\{a_n\}\)，求满足 \(\operatorname{unval}(a,b)\) 最小的 trival 序列 \(\{b\}\)，只需输出 \(\operatorname{unval}(a,b)\) 的值即可 .

注意，\(\{b\}\) 中的元素不一定要为整数 .

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对于 \(100\%\) 的数据，有 \(n\le 1000\)，输入给出的所有数均为 \((0,10^5]\) 内的整数 .

本题使用 Special Judge，如果你的答案是 \(pans\)，标准答案是 \(cans\)，则你将获得

\[\min\left\{100,\left\lfloor\dfrac{0.1}{|pans-cans|}\right\rfloor\right\} \]

分 .

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B. Raining Every Day

有 \(n\) 座山排成一个环，其中 \(n\) 是奇数，每两座山之间有一个水坝，第 \(i\) 座山和第 \(i+1\) 座山之间的水坝称为第 \(i\) 个水坝 .

每座山都有一个降雨量 \(r_i\)，它的降雨量会平均地分到相邻两座水坝去，也就是每个水坝 \(i\) 的降雨量为左右两个山的降雨量之算术平均值 .

现在给出每一座水坝收到的水量，问每座山的降雨量 .

\(1\le n\le 5\times 10^7\) .

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C. Simple Counting Problem

有一个多重集，所有元素（重复的按重复次数记）有 \(m\) 个，每个元素 \(a_i\) 出现的次数 \(c_i\) 的最大值为 \(n\) .

选这个集合的一个子集，令这个子集从小到大排序后的序列为 \(\{s_k\}\)，则若 \(\{s\}\) 满足：

• \(L\le k\le R\) .
• \(\{s\}\) 构成一个公差不为 \(0\) 的等差数列，即存在定值 \(d>0\) s.t. \(\forall 1\le i<k,s_{i+1}-s_i=d\) .
• 对于每个 \(1\le i\le k\)，有 \(d\mid s_i\) .

问方案数，对 \(998244353\) 取模 .

\(1\le n,m\le 10^5\)，所有元素不大于 \(10^5\) .

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D. Unhappy Walker (Bot Version.)

给一个 \(n\times m\) 的地图，有地方有障碍，有一个 bot 在在 \((x,y)\) 点上走，走出图就胜利 .

bot 不会自己走，你给 bot 下达一个长为 \(k\) 的指令串，每个字符是 U, D, L, R 中的一个，表示向上、下、左、右走 .

bot 的行走规则：

• 如果 bot 本轮不开心，那么就不动 .
• 如果 bot 按你的指令走会碰到障碍，那么也不动 .
• 否则，bot 会按你的指令走一步 .

你肯定是不能控制 bot 开不开心的，问有没有一种方案使得 bot 胜利 .

\(1\le n,m\le 500\)，\(1\le k\le 10^5\) .

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长空白下面是题解 .

\[\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px} \]

A. Harmonic Rice

签到？

首先我们要最小化这个联合权值（后面以 unval 代替之），于是给它加常数不影响相对大小，最后答案减回去即可 .

这时候我们考虑加一个 \(\displaystyle\dfrac14\sum_{i=1}^nw_ia_i^2\)，它是定值所以加了无所谓 .

于是化一下这个加完的 unval：

\[\begin{aligned}\operatorname{unval'}(a,b)&=\dfrac14\sum_{i=1}^nw_ia_i^2+\sum_{i=1}^nw_i\cdot b_i(b_i-a_i)\\&=\sum_{i=1}^nw_i\left(b_i^2+a_ib_i+\dfrac 14a_i\right)\\&=\sum_{i=1}^nw_i\left(\dfrac12a_i+b_i\right)^2\end{aligned} \]

于是因为整除关系构成一个偏序，于是就变成了经典的保序回归问题 — \(\mathsf L_2\) 问题 .

具体不再多说，可以读一下 p_b_p_b 的学习笔记 .

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B. Raining Every Day

非常水的一道题，可以手动高斯消元，或者 band-matrix 消元 .

时间复杂度 \(\Theta(n)\) .

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C. Simple Counting Problem

令 \(n,m\) 和值域全部同阶 .

首先枚举公差 \(d\)，这样的时间复杂度是 \(\Theta(n\log n)\) 的（调和级数）.

然后枚举序列的末尾，与末尾对应的开头也是一段区间，这个可以用逆元前缀和之类的东西平凡求出来 .

复杂度有点均摊的意味，大概就是 \(\Theta(n\log n)\) .

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D. Unhappy Walker (Bot Version.)

呃呃 .

考虑算每个格子最早可以几次操作到达，这个跑一下最短路即可 .

然后就做完了吧？最短路算法采用 Dijkstra，则时间复杂度为 \(\Theta(nm\log nm)\) .