2022.9.28 闲话

这次闲话是 CSP-J 题 .

书接上文 .

这次的 CSP-J 题和上次的不同在于这次考虑了 CCF 大纲 /oh/hsh

未特殊说明则时间限制 1s，空间限制 512 MiB .

和真正的 CSP-J 的不同之处在于这个有 ABCDEF 共六道题 .

题目不一定按照难度排序 .

同样的，不保证全为原创，不保证全为非原创 .

A. G-Tri

若一个三角形的三点均为格点，则称其为一个 G-Tri .

给一个 G-Tri，计算满足三点的 $x$ 坐标在 $[x_{\sf L},x_{\sf R}]$ 内，$y$ 坐标在 $[y_{\sf L},y_{\sf R}]$ 内且全等于给定三角形的 G-Tri 个数（可以是自己），对 $998244353$ 取模 .

所有坐标的绝对值不大于 $10^9$ .

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B. More and more maids

一个 Maids' Graph 定义为每个点只在不超过 1 个简单环的图 .

两个点 $u,v$ 之间的路径条数记作 $r(u,v)$ .

给一个 $n$ 个点 $m$ 条边的 Maids' Graph，求满足 $r(u,v)=2$ 的点对个数 .

$1\le n,m\le 5\times 10^6$ .

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C. FF Data Structure

给一棵 $n$ 个点的树 $\mathcal T$，每个点 $u$ 有颜色 $\operatorname{col}(u)\in\{0,1\}$ 和权值 $\operatorname{val}(u)$ .

对于点 $x,y$：

• 一次移动定义为从某个点 $x$ 移动到某个点 $y$，其中 $\operatorname{dist}(x,y)=1$ .
• 一次 FC 移动当且仅当移动时 $\operatorname{col}(x)\neq\operatorname{col}(y)$ .

对于一个点对 $(u,v)$：

• 一次 Far-FC 移动当且仅当 FC 移动时 $\operatorname{dist}(u,x)<\operatorname{dist}(u,y)$ 且 $\operatorname{dist}(v,x)<\operatorname{dist}(v,y)$ .
• 一个 FF-Set 定义为从点 $u$ 出发，经过至多一次 Far-FC 移动可以到达的所有点组成的点集 .

对于一个点 $u$：

• 一次 Down-FC 移动当且仅当 FC 移动时 $\operatorname{depth}(y)>\operatorname{depth}(x)$ .
• 一个 FF-Subtree 定义为从点 $u$ 出发，经过若干次 Down-FC 移动（可以是 0 次）可以到达的所有点组成的点集 .

有 $q$ 次询问，询问有两种：

• 1 u v，询问点对 $(u,v)$ 组成的 FF-Set 中所有点的点权和 .
• 2 u，询问点 $u$ 组成的 FF-Subtree 种所有点的点权和 .

$1\le n,q\le 1.2\times 10^6$，权值不大于 $10^9$ .

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D. Dorm

某校新建了 $m$ 栋宿舍楼，假期有 $n$ 天，每天都会有一个学生来入住，第 $i$ 天来的学生会到 $a_i$ 号楼入住，由于是假期因此第 $i$ 天这个学生来入住以后整栋楼都会开 party ，会产生等于入住后 $a_i$ 号楼的人数单位的噪音 .

忍无可忍的宿管向校领导请示，获得了最多 $k$ 次机会：每次机会可以指定某一天的入住完成后，可以指定一栋楼，把那栋楼已经入住的所有学生全部赶走，也就是把指定的一栋楼的入住人数清零 .

求这 $n$ 天产生噪音的最小总量 .

$1\le n\le 10^6$，$1\le m\le 100$，$1\le k\le 500$ .

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E. Diaphragm

给一个序列 $\{a_n\}$ 和一个序列 $\{w_n\}$，找 $1,2,3,\dots,n$ 的上升子序列使得：

• 其 $a$ 值上升 .
• 其 $w$ 值和不小于定值 $k$ .

问方案数 .

$1\le n\le 40$，$1\le a_i,w_i\le 10^9$，$1\le k\le 10^{11}$ .

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F. And in common

有一个序列 $\{a_n\}$，$m$ 个约束，第 $k$ 个为一个三元组 $(l_k,r_k,v_k)$，限制着：

$$\sum_{i=l_k}^{r_k}a_i=v_k$$

其中 $\displaystyle\bm{\sum}$ 表示连续按位与 .

对于每个 $i\in[1,m]$，问是否存在一个序列 $\{a\}$，使得前 $i$ 个约束全部成立 .

$1\le n,m\le 10^5$ .

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长空白下面是题解 .

$$\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}\\\kern{1px}$$

A. G-Tri

对于一个三角形我们用一个边平行于坐标轴的极小长方形框住它，这样只需要算出极小长方形内的方案数然后乘一乘即可 .

极小长方形内的方案数考虑每个方案都有 $2$ 种翻折，$4$ 种旋转来达成同构，于是总方案数就是 $2\times 4 = 8$ 种 .

问题被解决，可能有 corner case，时间复杂度 $\Theta(1)$ .

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B. More and more maids

根据 Maids' Graph 的特殊性质，进行一次 DFS，将所有环缩成一个方点，原来的点为圆点，这样就构成一个只含圆点和方点的树，并且方点不直接相连 .

$r(u,v)=2$ 当且仅当 $u,v$ 在同一个方点内或者 $u,v$ 所在的圆点间仅隔着一个方点，把圆链缩起来就可以平凡维护 .

时间复杂度 $O(n+m)$，事实上根据 Maids' Graph 的性质有 $m=O(n)$，所以也可以说时间复杂度是 $O(n)$ .

Bonus：$r(u,v)=2^k$，$k\ge 0$ 如何做？

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C. FF Data Structure

为了在 CCF 大纲内这题被变成了只用 DFS，并查集和前缀和的题 .

实际上这是一道语文题，难度并不大，可以看出出题人语文水平堪忧 .

首先把同色连通块缩起来，因为这是 CSP-J 题不能用 Tarjan 算法，所以用并查集实现，$O(n\alpha(n))$ .

然后 FF-Set 就是一条链以及所有邻接点，FF-Subtree 就是纯纯的子树了 .

定义一个点的重儿子为儿子中子树大小最大的那个，重儿子组成的链称作重链 .

首先我们可以通过两次 DFS 求出重链来，然后再进行一次 DFS 进行节点重标号，若现在处理到结点 $u$：

• 若 $u$ 还未被标号，则为其标号 .
• 若 $u$ 是重链头，遍历这条重链，将邻接这条链的结点依次标号 .
• 先递归重儿子，再递归轻儿子 .

这样就有：

• 对于重链，除链头外的结点标号连续 .
• 对于任意结点，其轻儿子标号连续 .
• 对于以重链头为根的子树，与这条重链邻接的所有结点标号连续 .

于是对于一条重链我们可以在 $\Theta(1)$ 的时间复杂度内求出答案（先算出 DFS 序的前缀和），因为走一下轻儿子子树大小至少除以二，所以链上的重链数量是 $\Theta(\log n)$ 的，于是 1 操作被 $\Theta(\log n)$ 解决 .

注意到进行节点重标号后子树可能会难做，当然可以用两种重标号方法去处理，但事实上还有一种更优美的做法：注意到一棵子树至多剖分为三个不交区间：重链区间、邻接轻点区间、邻接轻子树区间，于是可以用 $\Theta(1)$ 的时间复杂度完成 .

于是整个问题被以 $\Theta(q\log n)$ 的时间复杂度解决，可以通过本题 .

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D. Dorm

注意到噪音对于每一栋楼是独立的，对于每一栋楼可以算出清空 $k$ 次的情况 下的最小总噪音 $\operatorname{noise}(i,j)$.

然后考虑 DP，令 $dp_{i,j}$ 表示前 $i$ 栋楼清空 $j$ 次的最小总噪音，则有转移

$$dp_{i,j}=\min_k\{dp_{i-1,k}+\operatorname{noise}(i,j-k)\}$$

这样就做完了，时间复杂度 $\Theta(n+mk^2)$，可以通过 .

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E. Diaphragm

一看就很不可做是不是，所以考虑 Meet in the middle .

考虑把一个状态 $\{s\}$ 分为两半，这样分别只有 $20$ 的量 .

假设左边的和是 $s_{\sf L}$ 最大值是 $m_{\sf L}$，右边的和是 $s_{\sf R}$ 最小值是 $m_{\sf R}$ .

于是状态合法即他俩能合并当且仅当 $s_{\sf L}+s_{\sf R}\ge k$ 且 $m_{\sf L}\le m_{\sf R}$，这非常显然吧 .

分别爆搜，把 $m_{\sf R}$ 相同的合到一起，组内排序，只有 $O(n)$ 种不同的 $m_{\sf R}$ .

显然每次右边合法的是一个后缀，因为排过序了，所以直接二分一下就完了 .

时间复杂度 $\Theta(2^{n/2}\operatorname{polylog}(n))$，因为具体的我算不出来，反正能过就对了 .

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F. And in common

同题目，以下 $\displaystyle \sum$ 依旧表示连续按位与 .

大水题，显然有单调性，可以先二分一下 .

如何判断一个前缀是否满足条件呢？首先对于每个位置 $i$，我们取包含它的所有位置的限制的或作为 $a_i$，首先可以发现这样一定能满足 $\displaystyle \sum_{i=l_k}^{r_k}a_i$ 是对应 $v_k$ 的超集 .

然而根据一些非常显然的分析，或就是最优方案，也就是说如果或不行那么就没有方案行 .

于是就变成区间 OR 一个数，询问区间 AND 了，这个可以线段树维护，时间复杂度 $\Theta(n(\log^2n+\log^2m))$ .

Bonus：更优解法？