2022.9.22 闲话

TMD 做 CF1C 一直 WA13，3 机房上不去 CF 是啥玩意？？？我为啥不能给 Eafoo 的博客评论？？？难道我被认知危害了吗？？？？

我打算放 メリーバッドエンド (Merry Bad End) 歌词，现在假装下面有歌词：

メリーバッドエンド

Merry Bad End

KMP 自动机相关的一些杂谈

提到 KMP，给大家提供一道水题：Ynoi2011 遥远的过去（有点码农，我可能要鸽挺久了 TAT

目录

• KMP 自动机相关的一些杂谈
  • KMP 自动机
    • 从前缀 border 开始
    • Border 树
    • fail 指针
    • 例题 / Prefix Function Queries
    • 例题 / Anthem of Berland
  • 可持久化 KMP

KMP 自动机

以前一直以为 KMP 算法本来就是一个天然的自动机，直到看到 CF1721E 才发现原生 KMP 没有 fail 指针 QwQ .

现在来看一下真正的 KMP 自动机 .

从前缀 border 开始

KMP 的一个开端也是前缀的 border，一些关于 border 的东西可以看 Border Theory，理解不深刻轻喷（实际上目前 IPM 还没有几个 OIer 实现出来）.

约定：首先后面的东西都是对于一个原串 $S$ 来说的，不妨令其字符集为 $\Sigma$，其他约定见前面的 Border Theory .

定义前缀函数（也就是 next 数组）为 $\pi_i$ 表示 $S[1:i]$ 的最长 border 长度 .

KMP 算法指出了一个 $O(|S|)$ 计算 next 数组的方法，不是很容易用语言简单表述就挂个链接跑路吧 XD：KMP - OI Wiki .

注意到它对于每一位的计算是 均摊 $O(1)$ 的，这就表明它不适用于动态问题 .

Border 树

对于每个点 $i$，连边 $i\to\pi_i$，于是前面的过程就是在 Border 树上跳 .

具体的原因可以看 Border Theory，事实上是非常自然的 .

于是我们可以自然的引入 fail 指针（怎么都是自然的）：

fail 指针

为了让 KMP 更像自动机一点，我们先让每个点可以向任意一个字符转移，定义广义前缀函数 $\pi_{i,c}$ 表示表示从 $i$ 开始沿着 Border 树向上跳得到的最大的位置 $k\text{ s.t. }s_{k+1}=c$ .

然后引入 fail 指针 $f_i=\pi_{f_{i-1},S_i}$ .

这样我们的 $\pi$ 就可以单次严格 $O(|\Sigma|)$ 递推了：

• 若 $S_{i+1}=c$，则 $\pi_{i,c}=i$ .
• 若 $S_{i+1}\neq c$，则 $\pi_{i,c}=\pi_{f_i,c}$ .

看起来就是 AC 自动机转移啊？事实上 KMP 自动机也就是单串的 AC 自动机了 .

例题 / Prefix Function Queries

Prefix Function Queries

给一个字符串 $S$，$q$ 组询问，每次给一个字符串 $T$，求 $S+T$ 的后 $T$ 位的前缀函数值 .

$1\le |S|\le 10^6$，$1\le q\le 10^5$，$1\le |t|\le 10$，字符集为小写字母 .

每次加一个字符只需要改一位 next 一位 fail，然后就随便做了 .

时间复杂度 $O(|\Sigma|(|S|+\sum|t|))$ .

例题 / Anthem of Berland

Anthem of Berland

给两个串串 $s,t$，$s$ 中可能有问号 .

把每个问号换成一个小写字母，问 $t$ 匹配 $s$ 的次数最大是多少 .

$1\leq |s|,|t|\leq 10^5$，$|s|\cdot |t|\leq 10^7$ .

除了问号字符集是小写字母 .

KMP 自动机上 DP .

令 $dp_{i,j}$ 表示 $s[1:i]$ 走到 KMP 自动机上的节点 $j$ 时匹配的最大次数，转移显然 .

时间复杂度 $O(|s|\cdot |t|\cdot |\Sigma|)$ .

其实可以类比 AC 自动机上 DP 的啦 .

可持久化 KMP

好像是叫这个名字 /yun .

首先放一下题面，免得大家不知道我在说什么：

Sequential Prefix Function

维护一个字符串 $S$（初始为空），$n$ 次操作：

• 在末尾添加一个字符 .
• 删掉末尾的字符 .

$1\le n\le 2\times 10^5$ .

下面提供一个 KMP 自动机做法 .

首先建 KMP 自动机，点数记作 $m$，根记作 $r$ .

对于一个点，我们需要求的就是既是 Border 树上的祖先又是 fail 树上的祖先中深度最大的那个，先预处理出 Border 树的 DFS 序，$u$ 点的 DFS 序记作 $\operatorname{dfn}(u)$，然后还要顺便记一下每个点的子树 DFS 序的 max，记作 $\operatorname{maxdfn}(u)$ .

在 fail 树上 DFS，走到一个点 $u$ 的时候，如果 $u\leftrightarrow r$ 的路径上存在一个点 $v$ 使得 $\operatorname{dfn}(v)\in[\operatorname{dfn}(u),\operatorname{maxdfn}(u)]$ 的时候，$v$ 就可能作为答案，于是建一棵线段树，每个点存一个链表，每次访问点 $u$ 的时候对于 $[\operatorname{dfn}(u),\operatorname{maxdfn}(u)]$ 上的每个点后面都链一个 $u$，走出去的时候就删掉，于是查询就只需要查询线段树中到 $\operatorname{dfn}(u)$ 的路径中深度最大的点，这个不难维护 .

时间复杂度大概是 $\Theta(n\log n)$ .

还有一些其他做法可以做到 $\Theta(n)$，这里就不说了 .