2022.9.17 闲话

明天就是 CSP 初赛了，发一个初赛题 qwq .

一个数论函数 \(F\)，\(1\dots n\) 总共 \(n\) 个数，选 \(k\) 次，两种约束：

1. 选完的数不可再选 .
2. 选完的数可以再选 .

对于两种约束，分别求所选的数的 \(F\) 值之和的期望 .

约束 1：

\[\begin{aligned}\mathbb E(X)&=\mathbb E\left(\sum_{i=1}^kF(c_i)\right)\\&=\sum_{i=1}^k\mathbb E(F(c_i))\\&=k\sum_{i=1}^n\dfrac 1n\cdot F(i)\\&=\dfrac kn\sum_{i=1}^nF(i)\end{aligned} \]

约束 2：

\[\begin{aligned}\mathbb E(X)&=\mathbb E\left(\sum_{i=1}^nc_i\cdot F(i)\right)\\&=\sum_{i=1}^k\mathbb E(c_i\cdot F(i))\\&=\dfrac1{\dbinom nk}\sum_{i=1}^n\dbinom{n-1}{k-1}F(i)\\&=\dfrac kn\sum_{i=1}^nF(i)\end{aligned} \]

我们发现答案是一样的，非常的神奇 .