2022.9.17 闲话
明天就是 CSP 初赛了,发一个初赛题 qwq .
一个数论函数 \(F\),\(1\dots n\) 总共 \(n\) 个数,选 \(k\) 次,两种约束:
- 选完的数不可再选 .
- 选完的数可以再选 .
对于两种约束,分别求所选的数的 \(F\) 值之和的期望 .
约束 1:
\[\begin{aligned}\mathbb E(X)&=\mathbb E\left(\sum_{i=1}^kF(c_i)\right)\\&=\sum_{i=1}^k\mathbb E(F(c_i))\\&=k\sum_{i=1}^n\dfrac 1n\cdot F(i)\\&=\dfrac kn\sum_{i=1}^nF(i)\end{aligned}
\]
约束 2:
\[\begin{aligned}\mathbb E(X)&=\mathbb E\left(\sum_{i=1}^nc_i\cdot F(i)\right)\\&=\sum_{i=1}^k\mathbb E(c_i\cdot F(i))\\&=\dfrac1{\dbinom nk}\sum_{i=1}^n\dbinom{n-1}{k-1}F(i)\\&=\dfrac kn\sum_{i=1}^nF(i)\end{aligned}
\]
我们发现答案是一样的,非常的神奇 .
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