Abel 变换的一个代数证明

Abel 变换的一个形式：

\[\sum^{n}_{i=1}a_i b_i=\sum^{n-1}_{i=1}(a_{i}-a_{i+1})\sum_{j=1}^ib_j + \sum^{n}_{i=1}b_{i} a_{n} \]

别的形式可以看百度百科 .

组合意义证明比较容易就不说了，说一下代数证明：

\[\begin{aligned}\sum_{i=1}^na_ib_i&=\sum_{i=1}^na_i\left(\sum_{j=1}^ib_j-\sum_{j=1}^{i-1}b_j\right)\\&=\sum_{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1})\sum_{j=1}^ib_j+a_n\sum_{i=1}^nb_i\\&=\sum^{n-1}_{i=1}(a_{i}-a_{i+1})\sum_{j=1}^ib_j + \sum^{n}_{i=1}b_{i} a_{n}\end{aligned} \]

第二步用了两次结合律，可能有点像跳步，把 \(\displaystyle\sum\) 展开就显然了 .

Abel 变换的一些直接推论：

• 等差乘等比 .
• Abel 不等式 .