PA2013 Euler 社论

PA2013 Euler

给一个正整数 $n$，找到所有的 $a$ 使得 $\varphi(a)=n$，其中 $\varphi$ 是 Euler totient function .

$n\le 10^{10}$ .

令 $\displaystyle n=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}$，其中 $p_i$ 是素数，$\alpha_i>0$，则

$$\varphi(n)=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i-1}(p_i-1)$$

考虑枚举 $n$ 的每个约数 $d$，若 $d+1$ 是素数那么就有可能作为答案的质因子出现 .

于是暴力 DFS，对于每个数 $n$，每次枚举下一个要在答案中出现的素因子 $p$，然后令 $n\gets \dfrac n{p-1}$ 即可 .

不难发现只有 $(p-1)\mid n$ 才可能有解，于是令 $D_{i,j}$ 表示第 $i$ 个约数在第 $j$ 个素数之后第一个能被整除的位置，转移的时候按 $D$ 枚举即可，$D$ 的预处理是平凡的 .

还得判一下一个因子 $d$ 在 $n$ 的所有因子中的排名，按 $\sqrt n$ 分治即可用两个长 $\sqrt n$ 的数组维护 .

注意 $n=1$ 时跳出 .

时间复杂度 $O(\sqrt n\log n)$，可能分析的不准，轻 D .

洛谷提交记录 R84926290 .