2022.8.17 闲话

不可爱的人生没有意义ww

——expect2004

一言？

---

怎么没人投稿歌词呢？

《モザイクロール》

とある言叶が君に突き刺さり
to a ru ko to ba ga ki mi ni tsu ki sa sa ri
某句言语 刺穿了你
伤口から漏れ出す液を「爱」と形容してみた
ki zu gu chi ka ra mo re da su e ki o a i to ke i you shi te mi ta
自伤口渗出的液体 将之形容为「爱」

思いやりの欠如と形だけの交尾は
o mo i ya ri no ke tsu jyo to ka ta chi da ke no kou bi wa
同理体谅的缺乏及仅限形式上的交媾
腐れ縁のキミとアタシによく似ている
ku ra re en no ki mi to a ta shi ni yo ku ni te i ru
腐败的孽缘 你与我这般相似
「それでも好き…。」とか（笑）
so re de mo su ki to ka
「即使如此还是喜欢・・・。」 之类的（笑）

爱したっていいじゃないか
a i shi ta tte ii ja na i ka
过去式的爱不也挺好
缚り 谁も 触れないよう
shi ba ri da re mo fu re na i you
束缚著 谁都 触碰不到似地
これも运命じゃないか
ko re mo un me i ja na i ka
这不也是命运吗
消える 消える とある爱世
ki e ru ki e ru to a ru a i se
消失 消失 在某个爱的世界

终わる顷には君に饱いてるよ
o wa ru ko ro ni wa ki mi ni a i te ru yo
结束的时刻 对你已经厌倦透顶了喔
爱か欲か分からず放つことは何としようか
a i ka yo ku ka wa ka ra zu ha na tsu ko to wa na ni to shi you ka
分不清爱和欲望 放的东西该如何是好

思いやりの欠如と形だけの交尾は
o mo i ya ri no ke tsu jyo to ka ta chi da ke no kou bi wa
同理体谅的缺乏 及仅限形式上的交媾
腐れ縁のキミとアタシによく似ている
ku ra re en no ki mi to a ta shi ni yo ku ni te i ru
腐败的孽缘 你与我这般相似
それでもいいから…。
so re de mo ii ka ra
即使如此也罢

爱したっていうのですか？
a i shi ta tte iu no de su ka
能够说是爱过吗？
しがみついて藻掻くことを
shi ga mi tsu i te mo ga ku ko to o
紧抓不放 痛苦挣扎的事
杀したっていいじゃないか
ko ro shi ta tte ii ja na i ka
杀了有什麼不好
キミが嫌うアタシなんて
ki mi ga ki ra u a ta shi nan te
讨厌你 我呀

爱したっていいじゃないか
a i shi ta tte ii ja na i ka
过去式的爱不也挺好
缚り 谁も 触れないよう
shi ba ri da re mo fu re na i you
束缚著 谁都 触碰不到似地
これも运命じゃないか
ko re mo un me i ja na i ka
这不也是命运吗
消える 消える とある爱世
ki e ru ki e ru to a ru a i se
消失 消失 在某个爱的世界

以下序列均为整数序列 .

---

一维偏序（离散化）

给一个序列 \(\{a_n\}\)，求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[a_j<a_i]\) .

应用高级算法——排序，可以得到 \(O(n\log n)\) 高效算法 .

发现 \(\{a\}\) 中元素均为整数，如果值域是 \(B\)，则也可以基数排序得到 \(O(\log_{base}B\cdot n)\) 的算法，其中 \(base\) 是基排进制 .

---

二维偏序（逆序对）

给一个序列 \(\{a_n\}\)，求满足 \((i<j)\) 且 \(a_j<a_i\) 的二元组 \((i,j)\) 数量 .

两种算法：

• 归并排序：本质是 CDQ 分治 .
• 值域线段树 / 树状数组：需要先做一次一维偏序 .

以上都是很重要的，时间复杂度 \(O(n\log n)\) .

---

三维偏序

给两个序列 \(\{a_n\},\{b_n\}\)，求满足 \((i<j)\) 且 \(a_i<a_j\)，\(b_i<b_j\) 的二元组 \((i,j)\) 数量 .

直接 CDQ 分治，时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\) .

比 k-D Tree 是要快的 .

---

理论 \(k\) 维偏序

给一个有 \(n\) 个元素的序列，每个元素 \(p_i\) 是一个有序 \(k\) 元组 \((p_{i,1},p_{i,2},\cdots,p_{i,k})\) .

求满足 \(i<j\) 且对于所有 \(t\in[1,k]\) 有 \(p_{i,k}<p_{j,k}\) 的二元组 \((i,j)\) 的个数 .

CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 \(\dots\) 套 CDQ .

或者 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 \(\dots\) 套 值域树状数组 .

或者 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 CDQ 套 \(\dots\) 套 树套树 .

时间复杂度达到优秀的 \(O(n\log^{k-1}n)\) .

---

半理论 \(k\) 维偏序

给一个有 \(n\) 个元素的序列，每个元素 \(p_i\) 是一个有序 \(k\) 元组 \((p_{i,1},p_{i,2},\cdots,p_{i,k})\) .

求满足 \(i<j\) 且对于所有 \(t\in[1,k]\) 有 \(p_{i,k}<p_{j,k}\) 的二元组 \((i,j)\) 的个数 .

你的算法应该是不高于 \(O(n^2)\) 的 .

考虑 k-D Tree，先做一次一维偏序，每次统计“左上角”点即可，时间复杂度 \(O(n\cdot n^{1-\frac 1k})\) .

注意到这个魔幻算法：

• 当 \(k=1\) 时是 \(O(n)\) 的，于是我们得到一维偏序更优解法？不过是依赖值域罢了 .
• 当 \(k=\frac12\) 时是 \(O(1)\) 的 .
• 当 \(k=\frac13\) 时是 \(O(1/n)\) 的，\(n\) 越大跑得越快哦！

当然上面都是瞎扯，切勿当真 .

实践比 CDQ 快一些？

---

\(k\) 维偏序

给一个有 \(n\) 个元素的序列，每个元素 \(p_i\) 是一个有序 \(k\) 元组 \((p_{i,1},p_{i,2},\cdots,p_{i,k})\) .

求满足 \(i<j\) 且对于所有 \(t\in[1,k]\) 有 \(p_{i,k}<p_{j,k}\) 的二元组 \((i,j)\) 的个数 .

\(n\le 40000\)，\(k\le 6\)，序列同一维度上每个元素构成一个排列 .

使用 word-RAM model 中的高级数据结构——Bitmap，写作 std :: bitset .

如果我们知道对于一个 \(k\) 维向量 \((p_1,p_2,\cdots,p_k)\)，对于每一维 \(p_i\)，比它小的数构成的集合是 \(S_i\)，那么答案集合就是 \(S=S_1\cap S_2\cap\cdots\cap S_k\) .

这个直接 bitset 即可，我们设想如果我们知道第 \(k\) 维为 \(i\) 时，小于它的向量的编号集合，用一个长度为 \(n\) 的 bitset 表示，查询的时候就直接返回这个 bitset 就好了嘛 .

然而这玩意空间 \(O(n^2k/w)\)，就算带 \(\dfrac1w\) BUFF 还是不行 .

于是献祭高级数据结构——分块，因为是单独考虑每一维的集合的一个前缀，所以块尾储存关于大小的前缀集合就可以了，类似分段打表 .

分段打表大家都会吧？就不详细说了 .

然后空间就是 \(O(n^{1.5}k/w)\)，这样就可以了 .

时间复杂度自然是 \(O(nk/w)\) 预处理，\(O(n^{1.5}k/w)\) 回答询问 .

不明白可以看 yyb 博客 里面的 FHR偏序 课件 .

顺便提一下这个可以支持强制在线 .

---

\(k\) 维偏序 (High)

给一个有 \(n\) 个元素的序列，每个元素 \(p_i\) 是一个有序 \(k\) 元组 \((p_{i,1},p_{i,2},\cdots,p_{i,k})\) .

求满足 \(i<j\) 且对于所有 \(t\in[1,k]\) 有 \(p_{i,k}<p_{j,k}\) 的二元组 \((i,j)\) 的个数 .

\(n\le 2\times 10^2\)，\(k\le 10^3\) .

使用高级算法——XIN 队算法，达到了高效的 \(O(n^2k)\) .

因为种种原因，解决前面问题的算法常数打不过 XIN 队 .