2022.8.10 闲话 I

一个有意思的 emacs 5x5，欢迎破解：

5x5

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《INTERNET OVERDOSE》

この混沌とした令和のインターネットを照らす一筋の光

電子の海を漂うオタクに笑顔を

未来の平和をお約束　躁鬱だけどまかせとけ

インターネット・エンジェル　ただいま降臨

社会をやめろ　家族をやめろ　人間関係をやめろ

今すぐ薄暗い部屋で青白いライトを浴びろ

大丈夫こわかったこと全部上書きするからね

現実よりも　Crazy for you

おかしくなりそうなほど情報過多のインターネット

今たすけてあげるよ　ダーリンダーリン

ウソはウソだと見抜けるし　この愛は暴走しちゃうし

壊れてしまうけど

考えなくていいんだよ

もうすぐ楽になるからね

脳内に乱反射する Poison radio

麻薬より甘いよ

いいね　よくないね　キミにとっては毒だね

いいね　よくないね　それでも飲むんだね

いいね　よくないね　二人のヒミツだね

わたしだけ見ててね

まるで天使のように微笑む

強めの幻覚　INTERNETGIRL

そして悪魔みたいにささやく

アナタだけのデパス　NEEDYGIRL

浅い眠りと承認欲求のオーバードーズ

脳天直撃するわたしたちだけの宗教とヒカリ

倫理より激しく生きた宇宙すら浸食する恋

何度も送られる毒電波を優しさだけで包んで

逆さまのコンピューターと断片的なカウンセリング

きらめく屋上で奏でた夢見心地の旋律

夕暮れ時にさよならの練習をして

壊して愛して許して狂って

狂って狂って甘く狂わせて

ゆらぎ始める世界　曖昧になる風景

アナタだけが映っているメモリー

神様なんていないよ

このふざけたインターネットは七色のサイケデリック

SNSという瓶詰地獄に救済を

過去の歴史は見ないふり　アナタのためならすぐそばに

インターネット・エンジェル　かわいく参上

まるで天使のように抱きつく

強めの幻覚　INTERNETGIRL

そして悪魔みたいにキスする

アナタだけの　2DGIRL

（ANGEL……）

目录

• The SHIFT Trick
  • 典例（广义错排问题）
  • 例
• 一些求 \(x^x\bmod p\) 的做法
  • 模数存在原根
  • zz 科技

The SHIFT Trick

一类匹配问题的移位技巧（The SHIFT Trick） .

典例（广义错排问题）

广义错排问题

有 \(n\) 个班级，第 \(i\) 个班有 \(a_i\) 人，每人都写一张贺卡送给另一个人，问是否存在一个分配方案，使得每个人都获得恰好一张贺卡，并且与这张贺卡的作者来自不同班级 .

结论：令 \(\displaystyle m=\sum_{i=1}^na_i\)，则存在方案当且仅当

\[\max_{i}\{a_i\}\le\dfrac m2 \]

Proof：充分性显然 .

必要性：若对所有 \(i\)，都有 \(a_i\le\dfrac m2\)，则将 \(m\) 个人按照班级顺序排成一列 \(b_{0\dots m-1}\)，其中同一个班级的人组成连续的一段，考虑对每个 \(0\le i<m\)，将 \(b_i\) 的贺卡分配给 \(b_{(i+\lfloor m/2\rfloor)\bmod m}\) .

因为 \(\forall i, a_i\le\dfrac m2\)，\(b_i\) 和 \(b_{(i+\lfloor m/2\rfloor)\bmod m}\) 必不在同一个班，所以为一个合法的分配方案 .

对 \(b_i\) 作一个长度为 \(\lfloor m/2\rfloor\) 的移位的技巧就称作 The SHIFT Trick .

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广义错排问题 (Hard Version)

有 \(n\) 个班，第 \(i\) 个班有 \(a_i\) 人，要求将所有人排成一个环，使得没有相同班的人相邻 .

结论：令 \(\displaystyle m=\sum_{i=1}^na_i\)，则存在方案当且仅当

\[\max_{i}\{a_i\}\le\dfrac m2 \]

Proof：充分性仍然显然 .

必要性考虑按 \(m\) 归纳 .

• \(m\le 3\) 显然成立 .
• \(m>3\) 时，我们设 \(m<k\) 时命题成立，则不妨设当前有 \(n\) 个班，且 \(\dfrac n2\ge a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n\) .
  我们从第一个班与第二个班中分别抽出一个人，则第一个班剩下 \(a_1−1\le \dfrac{m−1}2\) 人，第二个班剩下 \(a_2−1\le \dfrac{m−1}2\) 人，其余班 \(i\ge3\) 的人数仍为 \(a_i\) .
  则剩下的 \(m−2\) 个人应用归纳假设，可以排成一个环 \(\pi\) . 我们从环 \(\pi\) 中任选两个相邻的人，设他们分别来自 \(x\) 和 \(y\) 两个班（\(x\neq y\)），则必有 \((x\neq 1\land y\neq 2)\lor(x\neq 2\land y\neq 1)\)，不妨设是前者，则我们把之前取出的第一个班和第二个班的人插至他们中间，形成 \(x\to 1\to 2\to y\) . 于是我们构造出了一个 \(m\) 个人的环，故 \(m=k\) 时命题成立 .

例

Mastermind

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(\{b_n\}\)（\(b_i\in[1,n+1]\)），以及常数 \(x,y\)，构造一个序列 \(\{a_n\}\)（\(a_i\in[1,n]\)），使得：

• 恰好有 \(x\) 个下标 \(i_{1\dots x}\)，使得 \(\forall s, b_{i_s}=a_{i_s}\) .
• \(\{a\}\) 和 \(\{b\}\) 恰有 \(y\) 个元素相同 .

（广义错排问题 之例题）

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Tree and Hamilton Path

给定 \(n\) 个节点的树，构造一个排列 \(\pi\)，使得

\[\sum_{i=1}^{n-1}\operatorname{dist}(\pi_i,\pi_{i+1}) \]

最大 .

（广义错排问题 (Hard Version) 之例题）

一些求 \(x^x\bmod p\) 的做法

模数存在原根

令 \(p\) 的原根为 \(g\)，则 \(x\) 可以被表示为 \(x=g^k\) 形式 .

令 \(x\) 关于原根 \(g\) 的离散对数为 \(\operatorname{ind}_g(x)\)，则

\[x^x\equiv g^{xg^x}\equiv g^{x\cdot\operatorname{ind}_g(x)}\pmod p \]

离散对数和固定底数幂皆可 \(O(p)\) 预处理 .

zz 科技

zz 是 wlzhouzhuan 的意思 .

我们筛一下 \(1\dots n\) 的 \(x^x\) .

令 \(f_i=i^i\)，\(i\) 的最小素因子为 \(\operatorname{minp}(i)\)，第 \(i\) 个素数为 \(p_i\) .

对于素数处直接快速幂算，这样有 \(O\left(\dfrac{n\log n}{\ln n}\right)\) 复杂度（迫真 \(O(n)\)）

对于合数 \(x=pq\)，有 \(f_i=(pq)^{pq}=f_p^qf_q^p\)，因为 \(p\le\sqrt n\)，所以光速幂预处理 \(f_p\) 的幂 .

考虑如何快速计算后半部分 . 回顾线性筛的流程，\(i\) 是在外层枚举到 \(q\)，内层枚举到 \(p\) 时计算，因此对于 \(q\) 而言，它计算的东西依次为 \(f^{p_{1\dots}}_q\)，指数增量是 prime gap，即 \(O(\ln n)\)，因此可以预处理出 \(f_q^{1\dots \ln\frac nq}\)，这里复杂度 \(O\left(\dfrac nq\ln\left(\dfrac nq\right)+\ln\dfrac nq\right)\)，累加起来 \(O(n)\)

这里也可以光速幂处理到只算前 \(\sqrt{\dfrac nq}\) 个，但是没啥用 .

总复杂度就是 \(O(n)\) 啦 .