2022.8.8 闲话

一道题的 Markdown 源码的 SHA256：1c08db54e2631466d962960e94a784a578cd63a6fa0bedb23759177e7c474f62 .

LCS 的一些做法：

Longest Common Subsequence

给两个序列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$，求一个序列 $\{c_k\}$，使得：

• $\{c\}$ 同时是 $\{a\}$，$\{b\}$ 的子序列 .
• $k$ 最小 .

最需输出最小的 $k$ .

特别的，我们有一些特殊性质：

• 性质 A：$\{a\}$，$\{b\}$ 为排列 .
• 性质 B：$\{a\}$，$\{b\}$ 中每个数出现的次数是小常数 .

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性质 A：对 $\{b\}$ 施置换 $\{a\}$，则问题变为求 $\{b\}$ 的 LIS，可以 $O(n\log n)$ 解决 .

性质 B：对于每个元素 $x$，我们在 $\{a\}$ 中找到 $x$ 的出现位置并降序写出，然后替换 $\{b\}$ 中所有 $x$，得到序列 $\{c\}$，求其 LIS 即为答案 .

General：令 $dp_{i,j}$ 表示 $a_{1\dots i}$ 与 $b_{i\dots j}$ 的 LCS 长度，于是可以朴素 $O(1)$ 转移，时间复杂度 $O(n^2)$ .

值得一提的是，在 James W. Hunt 和 Thomas G. Szymansky 的论文 "A Fast Algorithm for Computing Longest Common Subsequence" 中，给出了一个 $\Omega(n\log n)$，$O(n^2\log n)$ 的做法 .