2022.8.8 闲话

一道题的 Markdown 源码的 SHA256：1c08db54e2631466d962960e94a784a578cd63a6fa0bedb23759177e7c474f62 .

LCS 的一些做法：

Longest Common Subsequence

给两个序列 \(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)，求一个序列 \(\{c_k\}\)，使得：

• \(\{c\}\) 同时是 \(\{a\}\)，\(\{b\}\) 的子序列 .
• \(k\) 最小 .

最需输出最小的 \(k\) .

特别的，我们有一些特殊性质：

• 性质 A：\(\{a\}\)，\(\{b\}\) 为排列 .
• 性质 B：\(\{a\}\)，\(\{b\}\) 中每个数出现的次数是小常数 .

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性质 A：对 \(\{b\}\) 施置换 \(\{a\}\)，则问题变为求 \(\{b\}\) 的 LIS，可以 \(O(n\log n)\) 解决 .

性质 B：对于每个元素 \(x\)，我们在 \(\{a\}\) 中找到 \(x\) 的出现位置并降序写出，然后替换 \(\{b\}\) 中所有 \(x\)，得到序列 \(\{c\}\)，求其 LIS 即为答案 .

General：令 \(dp_{i,j}\) 表示 \(a_{1\dots i}\) 与 \(b_{i\dots j}\) 的 LCS 长度，于是可以朴素 \(O(1)\) 转移，时间复杂度 \(O(n^2)\) .

值得一提的是，在 James W. Hunt 和 Thomas G. Szymansky 的论文 "A Fast Algorithm for Computing Longest Common Subsequence" 中，给出了一个 \(\Omega(n\log n)\)，\(O(n^2\log n)\) 的做法 .