2022.8.6 闲话

《結ンデ開イテ羅刹ト骸》

片足無くした猫が笑う

「ソコ行ク御嬢サン遊ビマショ」

首輪に繋がる赤い紐は

片足の代わりになっちゃいない

やややや嫌嫌嫌

列成す卒塔婆の群れが歌う

「ソコ行ク御嬢サン踊リマショ」

足元密かに咲いた花は

しかめっ面しては愚痴ってる

腹を見せた鯉幟

孕んだのは髑髏

やいやい遊びに行こうか

やいやい笑えや笑え

らいらいむすんでひらいて

らいらい羅刹と骸

一つ二つ三つでまた開いて

五つ六つ七つでその手を上に

松の木には首輪で

宙ぶらりんりん

皆皆皆で結びましょ

下賤な蟒蛇墓前で逝く

集り出す親族争いそい

「生前彼ト約束シタゾ」

嘯くも死人に口は無し

やややや嫌嫌嫌

かって嬉しいはないちもんめ

次々と売られる可愛子ちゃん

最後に残るは下品な付子

誰にも知られずに泣いている

やいやい悪戯しようか

やいやい踊れや踊れ

らいらいむすんでひらいて

らいらい羅刹と骸

三つ二つ一つで息を殺して

七つ八つ十でまた結んで

高殿さえも耐え兼ね

火傷を背負い

猫は開けた襖\を閉めて行く

結局皆様他人事

結局皆様他人事

結局皆様他人事

結局皆様他人事

結局皆様他人事

結局皆様他人事

他人の不幸は知らんぷり

やいやい子作りしようか

やいやい世迷えや世迷え

らいらいイロハニ惚れ惚れ

らいらい羅刹と骸

一つ二つ三つでまた開いて

五つ六つ七つでその手を上に

鳥が泣いてしまわぬ

内にはらへら

一つ二つ三つでまた明日

一つ二つ三つでまた明日

一つ二つ三つでまた明日

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Euclid's Algorithm

给两个整数 \(d,k\)，求 \(\displaystyle\gcd_a((a+d)^k-a^k)\) .

\(d,k\le10^{100}\) .

首先二项式定理展开一下

\[(a+d)^k-a^k=\sum_{i=1}^k\dbinom ikd^ia^{k-i} \]

对每个素数 \(p\) 分别考虑 .

当 \(a\) 没有因子 \(p\) 时：

Kummer 定理

\(\dbinom nm\) 中含有 \(p\) 的指数次数为 \(m-n\) 在 \(p\) 进制下的退位个数 .

设 \(d=d'\cdot p^A\)，\(k=k'\cdot p^B\) .

对于 \(A=0\) 则直接不用考虑了 .

对于一个 \(i\) 来说，包含 \(p\) 的次幂为

\[t=Ai+B-\sigma(i,p) \]

其中 \(\sigma(i,p)\) 为 \(p\) 在 \(i\) 中的指数 .

此时发现 \(Ai\) 每次 \(i\) 增加 \(1\) 时至少增加 \(A\ge1\)，而 \(\sigma(i,p)\) 的增量必然不超过 \(1\) .

于是 \(t\) 单调不降 .

显而易见的是，\(A>1\)时， \(t\) 在 \(i=1\) 处取到唯一最小值 .

也就是说 \(p\) 的贡献是 \(p^{A+B}\) .

当 \(A=1\) 是，若 \(\sigma(2,p)=1\)，则 \(i=1\) 和 \(i=2\) 的次数一样，两项必须合并（这种情况当且仅当 \(p=2\)）.

手玩可以发现此时贡献为 \(2p^{A+B}\) .

可以发现 \(i=3\) 时是不可能贡献继续相同的 .

注意 \(k=2\) 时情况不同，当 \(i=2\) 时 \(a\) 的系数为 \(0\)，故我们可以通过调整 \(a\) 的两项的 \(p\) 的指数使其发生改变而不能合并，此时答案将会变小，需要特判一下 .

然后答案就是 \(d\) 出现过的质因子在 \(k\) 中出现的次数乘 \(d\)，直接跑 GCD 即可 .

时间复杂度 \(O(\log^2(k))\) .

\(10^{100}\) 的规模用一个 Python 代替高精度即可 .

题目来源：gym103261 I