2022.8.4 闲话

《メルト》

朝(あさ) 目(め)が覚(さ)めて

真(ま)っ先(さき)に思(おも)い浮(う)かぶ

君(きみ)のこと

思(おも)い切(き)って 前髪(まえがみ)を切(き)った

「どうしたの？」って

闻(き)かれたくて

ピンクのスカート お花(はな)の髪饰(かみかざ)り

さして 出(で)かけるの

今日(きょう)の私(わたし)は

かわいいのよ！

メルト 溶(と)けてしまいそう

好(す)きだなんて

绝対(ぜったい)に言(い)えない……

だけど メルト

目(め)も合(あ)わせられない

恋(こい)に恋(こい)なんてしないわ

わたし

だって 君(きみ)の事(こと)が

……好(す)きなの

天気予报(てんきよほう)が ウソをついた

土砂降(どしゃぶ)りの雨(あめ)が降(ふ)る

カバンに入(い)れたままの

オリタタミ伞(かさ) うれしくない

ためいきを ついた

そんなとき

「しょうがないから入(い)ってやる」なんて

隣(となり)にいる きみが笑(わら)う

恋(こい)に落(お)ちる音(おと)がした

メルト 息(いき)が诘(つ)まりそう

君(きみ)に触(ふ)れてる右手(みぎて)が

震(ふる)える 高鸣(たかな)る胸(むね)

はんぶんこの伞(かさ)

手(て)を伸(の)ばせば届(とど)く距离(きょり)

どうしよう……！

想(おも)いよ届(とど)け 君(きみ)に

お愿(ねが)い 时间(じかん)をとめて

泣(な)きそうなの

でも嬉(うれ)しくて

死(し)んでしまうわ！

メルト 駅(えき)についてしまう……

もう会(あ)えない 近(ちか)くて

远(とお)いよ だから

メルト 手(て)をつないで

歩(ある)きたい！

もうバイバイしなくちゃいけないの？

今(いま)すぐ わたしを

抱(だ)きしめて！

……なんてね

joke3579 让我写楼房重建线段树（又名兔队线段树）（又名线段树维护单调栈），但是我不会哦 .

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PT07D - Let us count 1 2 3（四重计树法）

给两个数 \(n,p\)，你需要求出下面四个问题的答案：
I. \(n\) 个点的带标号无根树数量 .
II. \(n\) 个点的带标号有根树数量 .
III. \(n\) 个点的无标号有根树数量 .
IV. \(n\) 个点的无标号无根树数量 .

I. Cayley 定理，\(n^{n-2}\) .

II 枚举根然后 Cayley 定理，\(n^{n-1}\) .

III. 设 \(f_n\) 为 \(n\) 个节点时的答案（其 OGF 为 \(F(z)\)）

做 Euler 变换可以得到 \(F(z)=z\cdot\operatorname{Euler}(F(z))\) .

定义代进去得

\[\begin{aligned}&F(z)=z\prod_{i\ge1}\left(\dfrac1{1-z^i}\right)^{f_i}\\\Longleftrightarrow&\ln\left(\prod_{i\ge1}\left(\dfrac1{1-z^i}\right)^{f_i}\right)=\sum_{i\ge1}f_i\sum_{j\ge1}j^{-1}z^{ij}=\sum_{i\ge 1}i^{-1}F(z^i)\\\Longrightarrow&F(z)=z\exp\left(\sum_{i\ge1}i^{-1}F(z^i)\right)\end{aligned} \]

这个可以 \(O(n\log n)\) 牛迭计算，但是有人要用 ODE 化一下化成 \(O(n^2)\)（

两边求导得

\[zF'(z)=F(z)+F(z)\left(\sum_{i\ge1}F'(z_i)z_i\right) \]

提取系数得

\[\begin{aligned}nf_n&=f_n+\sum_{j=1}^nf_j\sum_{i=1}^nf_i\cdot i\cdot[i\mid n-j]\\&=f_n+\sum_{j=1}^nf_j\sum_{i\mid n-j}i\cdot f_i\end{aligned} \]

直接算，注意要处理一个形式类似 Dirichlet 前缀和的东西才能 \(O(n^2)\) .

IV. 妙妙 .

考虑把每颗无根树变成以重心为根的有根树，然后我们只需要做一遍有根的再减去不为重心的即可 .

不为重心的一定是有一个子树大小大于 \(\left\lfloor\dfrac n2\right\rfloor\) .

• 当 \(n\) 为奇数时，每棵树只有一个重心，减去的方案数为
  \[\sum_{i=\lfloor\frac n2\rfloor+1}^{n-1}f_i\cdot f_{n-i} \]

• 当 \(n\) 为偶数时，需要减去有两个重心的树，这表明有一条边满足两边同时有 \(\dfrac n2\) 个节点，于是减 \(\dbinom{f_{\frac n2}}2\) 即可 .

于是四个问题被 \(O(n^2)\) 解决 .

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记录：

随机父节点树树高：

\[f_{i,j}=\sum_{x=1}^{i-1}\sum_{y=1}^{j-1}\dbinom{i-2}{x-1}f_{x,y}f_{i-x,j}+\sum_{x=1}^{i-1}\sum_{y=1}^{j-1}\dbinom{i-2}{x-1}f_{x,j-1}f_{i-x,y} \]

可以做到 \(O(n^2\log n)\) .

答案是 \(\displaystyle h(n)=\dfrac1{(n-1)!}\sum_{k=1}^nk\cdot f_{n,k}\) .