来自学长的馈赠8 社论

IOI 赛制 suki

目录

• A. 跳一跳
• B. 求和
• C. 明明的随机数
• D. 凯爹博弈

A. 跳一跳

递推可以 $O(n)$ .

对每个点考虑贡献然后错位相减可以得到答案是 $\displaystyle f(n)=\dfrac1{n-1}-\dfrac1{n(n-1)}+1-\dfrac1n+\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac 1i$ .

可以分段打表优化，或者前面无脑逆元后面的调和级数用多项式科技优化，这样就是 $O(\sqrt n\log n)$ 的了 .

B. 求和

首先 $g(n)$ 直接扩展欧拉定理递归就可以在 $O(\log n)$ 步内求出 .

然后分段打表即可，$O(n\log n)$ 跑 $10^7$ 的表也不是很慢 .

C. 明明的随机数

令 $f_i$ 表示有 $i$ 个不限制的行，$m$ 个互不相同的列的方案数 . $g_i$ 表示有 $i$ 个互不相同的行，$m$ 个互不相同的列的方案数，则

$$f_i=\sum_{j=1}^i{i\brace j}g_i$$

Stirling 反演即得

$$g_i=\sum_{j=1}^i(-1)^{i-j}{i\brack j}f_i$$

注意到 $f_i=(c^i)^{\underline m}$，于是 $g$ 就好求了 .

我们先算出 $k_1\times k_2$ 的方案然后乘 $\displaystyle{n\brace k_1}{m\brace k_2}$ 即可 .

第一类 Stirling 数可以直接递推 $O(k_1k_2)$ 做，乘用的第二类 Stirling 数可以用

$$k!{n\brace k}=\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i}\dbinom kii^n$$

直接暴力模拟，$O(k_1+k_2)$ .

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Bonus：$O(n\log n)$ 做法 .

我不会复杂度分析，于是令 $n,m,k_1,k_2$ 同阶 .

首先一行第一类 Stirling 数可以倍增做到 $O(n\log n)$ .

那么考虑如何快速求 $f_i=(c^i)^{\underline m}$ .

下降幂化普通幂：

$$x^{\underline n}=\sum_k{n\brack k}(-1)^{n-k}x^k$$

第一类 Stirling 数我们已经求过了，于是我们只需要求上面那个玩意在 $c^i$ 处的取值 .

然后就是 CZT 板子了吧，可以 $O(n\log n)$ .

总时间复杂度 $O(n\log n)$ .

D. 凯爹博弈

so lazy,