特殊数表

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以下是原文：

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多项式计数杂谈 中的附件。

• 包括负数的二项式系数 (杨辉三角)

\( \def\tinyS #1#2{\tiny\begin{Bmatrix}\small #1\\ \small#2\end{Bmatrix}} \def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c||c:c:c:c:c:c:c} n & \binom{n}{0} & \binom{n}{1} & \binom{n}{2} & \binom{n}{3} & \binom{n}{4} & \binom{n}{5}& \binom{n}{6}\\\hdashline -4&1&-4&10&-20&35&-56&84\\\hdashline -3&1&-3&6&-10&15&-21&28\\\hdashline -2&1&-2&3&-4&5&-6&7\\\hdashline -1&1&-1&1&-1&1&-1&1\\\hdashline 0&1\\\hdashline 1&1&1\\\hdashline 2&1&2&1\\\hdashline 3&1&3&3&1\\\hdashline 4&1&4&6&4&1\\\hdashline 5&1&5&10&10&5&1\\\hdashline 6&1&6&15&20&15&6&1 \end{array} \)

注 : \(\dbinom{n}{m}=\dfrac{n^{\underline m}}{m!}=\dfrac{(-1)^m(m-n-1)^{\underline m}}{m!}=(-1)^m\dbinom{m-n-1}{m}\)

• 第一类斯特林数

\( \def\tinyS #1#2{\tiny\begin{bmatrix}\small #1\\ \small#2\end{bmatrix}} \def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c||c:c:c:c:c:c:c} n & \tinyS{n}{0} & \tinyS{n}{1} & \tinyS{n}{2} & \tinyS{n}{3} & \tinyS{n}{4} & \tinyS{n}{5}& \tinyS{n}{6}\\\hdashline 0&1\\ \hdashline 1&0&1\\ \hdashline 2&0&1&1\\\hdashline 3&0&2&3&1\\\hdashline 4&0&6&11&6&1\\\hdashline 5&0&24&50&35&10&1\\\hdashline 6&0&120&274&225&85&15&1\\ \end{array} \)

• 第二类斯特林数,以及倒推至负数产生第一类斯特林数的表格。

\( \def\tinyS #1#2{\tiny\begin{Bmatrix}\small #1\\ \small#2\end{Bmatrix}} \def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c||c:c:c:c:c:c:c:c:c:c:c} n & \tinyS{n}{\!-5\!}& \tinyS{n}{\!-4\!} & \tinyS{n}{\!-3\!} & \tinyS{n}{\!-2\!} & \tinyS{n}{\!-1\!} & \tinyS{n}{0} & \tinyS{n}{1} & \tinyS{n}{2} & \tinyS{n}{3} & \tinyS{n}{4}& \tinyS{n}{5}\\\hdashline -5&1\\\hdashline -4&10&1\\\hdashline -3&35&6&1\\\hdashline -2&50&11&3&1\\\hdashline -1&24&6&2&1&1\\\hdashline 0&0&0&0&0&0&1\\\hdashline 1&0&0&0&0&0&0&1\\\hdashline 2&0&0&0&0&0&0&1&1\\\hdashline 3&0&0&0&0&0&0&1&3&1\\\hdashline 4&0&0&0&0&0&0&1&7&6&1\\\hdashline 5&0&0&0&0&0&0&1&15&25&10&1\\ \end{array} \)

注 : \(\begin{Bmatrix}-k\\-n\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\)

• (第一类)欧拉数

\( \def\tinyS #1#2{\left\langle\begin{smallmatrix}#1 \\ #2\end{smallmatrix}\right\rangle} \def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c||c:c:c:c:c:c:c} n & \tinyS{n}{0} & \tinyS{n}{1} & \tinyS{n}{2} & \tinyS{n}{3} & \tinyS{n}{4} & \tinyS{n}{5}& \tinyS{n}{6}\\\hdashline 0&1\\\hdashline 1&1&0\\\hdashline 2&1&1&0\\\hdashline 3&1&4&1&0\\\hdashline 4&1&11&11&1&0\\\hdashline 5&1&26&66&26&1&0\\\hdashline 6&1&57&302&302&57&1&0\\ \end{array} \)