2022.7.29 闲话

莫反好强啊 .

整除分块时间复杂度证明：杨卓凡小定理 .

YY 的 GCD

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)\in\mathbb P]$$

见 SoyTony 的博客 .

最后得到一个神秘的 $\displaystyle\sum_{k\mid n,k\in\mathbb P}\mu\left(\dfrac nk\right)$，如何做呢？

我们线性筛，若 $p\in\mathbb P, p\perp q$，则 $f(pq)=f(q)+\mu(q)$ .

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CDPV

给两个整数 $n,m$ 和三个多项式 $F,G,H$，求

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mF(i)G(j)H(i+j)$$

答案对 $998244353$ 取模

枚举 $i+j$ 进行一波推导可得

$$\sum_{k=1}^{n+m}H(k)\sum_{i=1}^nF(i)G(k-i)$$

发现后面非常像卷积但是卷不了，所以直接钦定 $F$ 后面的项都是 $0$，这个可以多点求值 + 快速插值完成 .

然后 FFT/NTT 卷上，再多点求值，暴力算即可 .

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CSMAWK

一张无向图 $G$，每条边有边权，要求支持：

• 1 u v w，添加一条边 $(u,v)$，边权为 $w$（保证 $G$ 中原来没有 $(u,v)$ 这条边）.
• 2 u v，删除边 $(u,v)$（保证 $G$ 中存在 $(u,v)$ 这条边）.
• 3 u v w，将边 $(u,v)$ 的边权改为 $w$（保证 $G$ 中存在 $(u,v)$ 这条边）.
• 4 u k，查询与点 $u$ 邻接的所有边边权 $k$ 小值（保证 $0<k\le\deg(u)$） .

太水了，不想写了 .

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CWATER

一个集合的 mex+ 定义为不出现在其中的最小 正整数，例如 $\operatorname{mex}^{+}(\{1,2,3\})=4$，$\operatorname{mex}(\{0,1,4,9\})=2$，$\operatorname{mex}^+(\{0,1,2,3,4\})=5$ .

有一棵树，每个点 $u$ 有点权 $a_u$，$q$ 次询问，每次询问点 $u$ 到点 $v$ 简单路径上所有点点权的 mex+ .

保证 $\{a\}$ 是一个排列 .

考虑二分答案，于是问题变为查询一条链上点权 $<k$ 的元素个数 .

这个显然是可加的，于是可以通过树链剖分转换为 DFS 序上查询 $<k$ 的元素个数，可以持久化线段树（主席树）维护 .

时间复杂度 $O(q\log^3 n)$，有根号的做法，我不会 .

提交可以来 https://www.luogu.com.cn/problem/U224599 .

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不对跑偏了，我原来是要说莫反的吧？

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附录：卡 SPFA

1. 普通 SPFA：网格图
2. LLL 优化：网格图外带一条 INF 边连上 .
3. priority_queue / stack 的 SPFA：用三角形卡到指数级