各种小定理

目录

• 杨卓凡小定理系列
  • 杨卓凡第一小定理
  • 杨卓凡第一点五小定理
• APJifengc 小定理系列
  • APJifengc 第一小定理
• SoyTony 小定理系列
  • SoyTony 第一小定理

杨卓凡小定理系列

杨卓凡第一小定理

\(k\) 层整除分块时间复杂度：\(O\left(n^{\frac{2^k-1}{2^k}}\right)\) .

证明：考虑用数学归纳法，\(k=1\) 显然成立 .

\(k>1\) 就是

\[\begin{aligned}T(n)&=O\left(\sum_{i=1}^{\sqrt n}(n/i)^{\frac{2^k-1}{2^k}}\right)\\&=O\left(\int_{1}^{\sqrt n}(n/z)^{\frac{2^k-1}{2^k}}\mathrm dz\right)\\&=O(n^{\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}})\end{aligned} \]

杨卓凡第一点五小定理

\[\int_{1}^{\sqrt n}z^{\varepsilon}\mathrm dz=O\left(\int_{1}^{\sqrt n}\left(\dfrac nz\right)^{\varepsilon}\mathrm dz\right) \]

对于 \(\varepsilon\ne\pm1\) 成立 . 当 \(\varepsilon<1\) 时可以取 \(\Theta\) .

证明：左右暴力积分即可 .

APJifengc 小定理系列

APJifengc 第一小定理

满足其所有非空子集的异或和不为 \(0\) 的集合 \(S\subseteq\{0,1,2,3,\cdots,2^n-1\}\) 的数量为

\[\sum_{i=0}^n\dfrac1{i!}\prod_{j=1}^i(2^n-2^{j-1}) \]

证明：考虑所有非空子集异或和不为 \(0\) 等价于线性基中不存在 \(0\) .

考虑依次加入基底使得它们互相线性无关 .

则：

• 第一次：有 \(2^n-1\) 种选法 .
• 第二次：有 \(2^n-2^1\) 种选法，因为有 \(2^1\) 个数已经可以由前面选的数表出了所以不能选 .
• 第三次：有 \(2^n-2^2\) 种选法，解释类似 .
• \(\cdots\)
• 第 \(i\) 次：有 \(2^n-2^i\) 种选法 .

又考虑到这个选取基底的过程其实是有序的，实际上要计数的对象是无序的，所以第 \(i\) 次的方案数上还要乘一个 \(\dfrac1{i!}\) 去掉顺序 .

于是就可以得到 APJifengc 第一小定理所写的那个式子 \(\displaystyle\sum_{i=0}^n\dfrac1{i!}\prod_{j=1}^i(2^n-2^{j-1})\) 了 .

应用：ARC146C，同态计数 等一系列神题 .

SoyTony 小定理系列

SoyTony 第一小定理

对于二阶常系数线性递推数列 \(\{f\}\) 满足 \(f_n=x\cdot f_{n-1}+y\cdot f_{n-2}\)，其中 \(f_0=0\)，\(f_1=1\) .

则对于任意 \(n,m\)，有 \(f_{n+m}=y\cdot f_nf_{m-1}+f_{n+1}f_m\) .

SoyTony 的证明路线 .

我的证明路线 .

本质相同的 . SoyTony 觉得这个成果比较有意思就放了 .

应用：斐波那契公约数，最小公倍佩尔数（这两个用的是延伸出的 GCD 性质），2023.3.7 闲话.