各种小定理

目录

• 杨卓凡小定理系列
  • 杨卓凡第一小定理
  • 杨卓凡第一点五小定理
• APJifengc 小定理系列
  • APJifengc 第一小定理
• SoyTony 小定理系列
  • SoyTony 第一小定理

杨卓凡小定理系列

杨卓凡第一小定理

$k$ 层整除分块时间复杂度：$O\left(n^{\frac{2^k-1}{2^k}}\right)$ .

证明：考虑用数学归纳法，$k=1$ 显然成立 .

$k>1$ 就是

$$\begin{aligned}T(n)&=O\left(\sum_{i=1}^{\sqrt n}(n/i)^{\frac{2^k-1}{2^k}}\right)\\&=O\left(\int_{1}^{\sqrt n}(n/z)^{\frac{2^k-1}{2^k}}\mathrm dz\right)\\&=O(n^{\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}})\end{aligned}$$

杨卓凡第一点五小定理

$$\int_{1}^{\sqrt n}z^{\varepsilon}\mathrm dz=O\left(\int_{1}^{\sqrt n}\left(\dfrac nz\right)^{\varepsilon}\mathrm dz\right)$$

对于 $\varepsilon\ne\pm1$ 成立 . 当 $\varepsilon<1$ 时可以取 $\Theta$ .

证明：左右暴力积分即可 .

APJifengc 小定理系列

APJifengc 第一小定理

满足其所有非空子集的异或和不为 $0$ 的集合 $S\subseteq\{0,1,2,3,\cdots,2^n-1\}$ 的数量为

$$\sum_{i=0}^n\dfrac1{i!}\prod_{j=1}^i(2^n-2^{j-1})$$

证明：考虑所有非空子集异或和不为 $0$ 等价于线性基中不存在 $0$ .

考虑依次加入基底使得它们互相线性无关 .

则：

• 第一次：有 $2^n-1$ 种选法 .
• 第二次：有 $2^n-2^1$ 种选法，因为有 $2^1$ 个数已经可以由前面选的数表出了所以不能选 .
• 第三次：有 $2^n-2^2$ 种选法，解释类似 .
• $\cdots$
• 第 $i$ 次：有 $2^n-2^i$ 种选法 .

又考虑到这个选取基底的过程其实是有序的，实际上要计数的对象是无序的，所以第 $i$ 次的方案数上还要乘一个 $\dfrac1{i!}$ 去掉顺序 .

于是就可以得到 APJifengc 第一小定理所写的那个式子 $\displaystyle\sum_{i=0}^n\dfrac1{i!}\prod_{j=1}^i(2^n-2^{j-1})$ 了 .

应用：ARC146C，同态计数 等一系列神题 .

SoyTony 小定理系列

SoyTony 第一小定理

对于二阶常系数线性递推数列 $\{f\}$ 满足 $f_n=x\cdot f_{n-1}+y\cdot f_{n-2}$，其中 $f_0=0$，$f_1=1$ .

则对于任意 $n,m$，有 $f_{n+m}=y\cdot f_nf_{m-1}+f_{n+1}f_m$ .

SoyTony 的证明路线 .

我的证明路线 .

本质相同的 . SoyTony 觉得这个成果比较有意思就放了 .

应用：斐波那契公约数，最小公倍佩尔数（这两个用的是延伸出的 GCD 性质），2023.3.7 闲话.