2022.7.27 闲话

吐槽

为啥我那个 Crosspain 题总被神秘乱搞日过去 .

为啥要骂造数据的，你行你造一个啊，我感觉造一个答案非 0 的都挺难 .

（见 Chapter 5）

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这篇闲话下面的内容可能有点水了 qwq

《五年败北三年模拟》

Chapter 1 —— 分治的败北

平面最近点对。

先对 $x$ 坐标排序，然后一个一个添加点，我们设置一个阈值 $d$ 表示目前找到的最优解 .

开一个以 $y$ 为关键字的 std :: set，每次加入的时候，可以把与当前点横坐标差值超过 $d$ 的先扔掉，然后暴力查询纵坐标差不超过 $d$ 的点更新 $d$ .

暴力最多查询 $6$ 次，所以复杂度在于 std :: set，于是 $O(n\log n)$，同分治法 .

而且还好写……

Chapter 2 —— Hash 的败北

考虑一个问题：

子串 Hash

给一个字符串 $S$，多组询问两个子串是否相等 .

众所周知 Hash 不是确定性算法我们很生气！！！并且题目名字一定和做法没有关系所以我们不 Hash .

但是直接做貌似很困难？？

我们引入高科技！使用 Border Theory 中的 IPM（$2|u|\ge|v|$ 的条件不难解决）即可单次 $O(\log |S|)$ 解决 .

Hash 能干的最有用的事被干了。

Chapter 3 —— exCRT 的败北

考虑合并两个同余方程组：

$$\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{n_1}\\x\equiv a_2\pmod{n_2}\end{cases}$$

首先答案肯定是 $\bmod \operatorname{lcm}(n_1,n_2)$ 意义下的，问题就是要找 $x\bmod \operatorname{lcm}(n_1,n_2)$ 是多少 .

我们考虑直接暴力，枚举所有满足第一个同余方程的 $x$，然后一个一个判断是否满足第二个，这样就找到答案了 .

关于论证这个为什么不会被卡的见这里：中国剩余定理小记

Chapter 4 —— 高精快速幂的败北

以一道普及组题引入（accoders）：

数的幂次

给两个整数 $N$ 和 $P$，$1 \le N \le 10^9$，$1 \le P \le 20000$ .

Python 是过不去的 = =

据 xrlong & GOD_hj 所说高精快速幂也过不去 .

我想普及组题怎么这么 NB 呢？

首先把 $N,P$ 按权展开就得到两个多项式 $f(10),g(10)$ .

于是 $N^P=f(10)^{g(10)}=(f^g)(10)=(\exp(g\cdot \ln f))(10)$，直接算 ln/exp 即可 .

如果不满意还可以压位（$10$ 改成 $10^B$）.

但是我们忽略了一个问题，只有 $N$ 末位是 $1$ 时才能取 ln！

这个不难解决，先去掉末位的 $0$，然后除一下最后乘回去就好了 .

选一个可爱的 NTT 模数大概就行了 .

但是我觉得 $O(n^2)$ 暴力也没啥事 .

Chapter 5 —— AC 自动机的败北 & Hash 的反击

让我们看一道题：

Crosspain

令 $S_0=\varnothing$，要求支持以下操作：

• 1 hoc s，令 $S_i=S_{hoc}\cup\{s\}$，其中 $s$ 是字符串（保证操作前 $s\notin S_{hoc}$） .
• 2 hoc s，令 $S_i=S_{hoc}$，并查询 $S_i$ 中的所有字符串在给出的字符串 $s$ 中出现的次数之和 .

用 std :: set 记录一下每次询问后的字符串集，对于每个字符串只需记录其长度与 Hash 值 .

对于操作 1，直接计算字符串 $s$ 的 Hash 值丢 set 里就好了 .

对于操作 2，则直接遍历容器中的元素，并枚举 $s$ 的起始位置，用字符串 Hash 的前缀和快速算出这一个子串的 Hash 值 . 若相等，则答案加一 .

用 set 的同时记录一下这种串的个数即可冲过去，$O(q^2)$ 啊！$n^2$ 过 50w 什么操作？？？