如何用原根做求幂

定义：

\(a\) 模 \(n\) 的阶 \(\delta_n(a)\) 定义为：

\[\delta_n(a)=\underset d{\operatorname{arg }\min}\;a^d\equiv 1\pmod n \]

若 \(\delta_n(a)=\varphi(n)\)，则称 \(a\) 是 \(n\) 的原根 .

引理：

Lemma 1（原根存在定理）

一个数 \(n\) 存在原根当且仅当 \(n=2,4,p^{\alpha},2p^{\alpha}\)，其中 \(p\) 为奇素数，\(\alpha\) 为正整数 .

Lemma 2

若 \(g\) 是 \(n\) 的原根，则 \(g,g^2,\cdots,g^{\varphi(n)-1}\) 构成 \(n\) 的一个既约剩余系 .

证明略去 .

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如果我们要算一堆东西乘起来，模一个素数 \(P\) .

Lemma 1 表明，\(P\) 一定存在原根，不妨令原根为 \(g\) .

于是根据 Lemma 2，我们就可以把 \(1\dots P-1\) 中每个数都用 \(g\) 的 \(0\dots P-2\) 次幂表示 .

于是相乘就变成了指数相加，我们就把乘变成了加 .

在某些问题中有用，遇到再写吧 .

求原根大家都应该会吧，，