如何用原根做求幂

定义：

$a$ 模 $n$ 的阶 $\delta_n(a)$ 定义为：

$$\delta_n(a)=\underset d{\operatorname{arg }\min}\;a^d\equiv 1\pmod n$$

若 $\delta_n(a)=\varphi(n)$，则称 $a$ 是 $n$ 的原根 .

引理：

Lemma 1（原根存在定理）

一个数 $n$ 存在原根当且仅当 $n=2,4,p^{\alpha},2p^{\alpha}$，其中 $p$ 为奇素数，$\alpha$ 为正整数 .

Lemma 2

若 $g$ 是 $n$ 的原根，则 $g,g^2,\cdots,g^{\varphi(n)-1}$ 构成 $n$ 的一个既约剩余系 .

证明略去 .

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如果我们要算一堆东西乘起来，模一个素数 $P$ .

Lemma 1 表明，$P$ 一定存在原根，不妨令原根为 $g$ .

于是根据 Lemma 2，我们就可以把 $1\dots P-1$ 中每个数都用 $g$ 的 $0\dots P-2$ 次幂表示 .

于是相乘就变成了指数相加，我们就把乘变成了加 .

在某些问题中有用，遇到再写吧 .

求原根大家都应该会吧，，